Notice du document
MODELISATION ITINERANTE : DU SAGUENAY A NOS CLASSES
pages 3-8 : description des lois de Mendel ; description rapide de l’ataxie spastique : une maladie à caractère récessif.
pages 9-14 : explication du modèle de Hardy-Weinberg. Ce modèle fait partie explicitement du programme de l'Enseignement Scientifique de terminale générale.
Un exercice à faire par les élèves : ICI
Le test du Khi-deux est un test vu en statistique après le bac, qui permet de décider si une série de données expérimentales « collent » à une loi de probabilité donnée.
pages 15-20 : explication du modèle avec la théorie des graphes. Les graphes probabilistes et les marches aléatoires (chaînes de Markov) sont au programme de Maths Expertes, en terminale générale. Pour « matrice de passage » dans le document, on dit aussi matrice de transition.
On démontre qu’une marche aléatoire à deux états converge toujours vers un unique état stable (état stable déterminé comme dans le document).
Les notions de valeur propre et de polynôme caractéristique sont étudiées dans le supérieur. Ces notions permettent entre autre de diagonaliser une matrice
(si cela est possible), ce que l’on fait « à la main », en Maths Expertes, en proposant la matrice inversible Q telle que D = Q-1PQ soit diagonale.
pages 20-31: modèle de Wright-Fisher : t est le numéro de génération, c’est donc un entier, et ( Xt ) est donc une suite numérique. La loi binomiale est étudiée en terminale, ainsi que les probabilités conditionnelles (aussi en première). P(Xt + 1 = j / Xt = i) signifie "probabilité que Xt + 1 = j sachant que Xt = i".
Le passage à la matrice de transition P tel que P(i ; j) = P(Xt + 1 = j / Xt = i) représentant la probabilité d’obtenir j allèles a à la génération t + 1 sachant qu’il y avait i allèles a à la génération t, ne sera « compris » que par les élèves de Maths Expertes.
La matrice V telle que M = V×D×V-1 est donnée par le logiciel de calcul formel Matlab, dans l’état d’esprit des programmes actuels, il faudrait le faire en Python. La relation Mt = V×Dt×V-1 pour tout entier naturel t est démontrée par récurrence en Maths Expertes.
Les notions de valeurs propres et d’état absorbant d'une chaine de Markov sont vues dans le supérieur.
page 51 : l’activité peut être faite en terminale générale ou technologique.
page 55 : une remarque à propos de l’exercice 2, on peut écrire dans un cours de Maths Expertes que si une puissance de la matrice de transition ne contient aucun 0, alors, la marche aléatoire converge
vers un unique état stable, c’est le cas ici (A2 par exemple n’a aucun 0). Ce résultat est à rapprocher du théorème de Perron-Frobenius vu dans le supérieur.