Point info : une abeille c’est formidable.

Mais le fond choisi par les abeilles reste-t-il le moyen le plus économique pour la construction d’une alvéole ? En 1964, Fejes Toth a démontré que si le fond était formé de deux petits hexagones ainsi que de deux losanges, au lieu de trois rhombes, la quantité de cire serait, pour un même volume, inférieure de 0,35 % à ce qu’elle est avec les losanges. La différence est minime, pour une complexité du fond plus importante.

Les structures en nid d’abeille servent à augmenter la résistance d’un matériel, tout en garantissant une grande légèreté. La structure en nid d’abeille peut être constituée d’aluminium, de carton ou de plastique. Dans l’industrie des composites, l’âme d’un panneau sandwich est souvent constituée d’une structure en nid d’abeille sur laquelle sont apposées des plaques à base de résine et de fibre de verre. L’âme procure ainsi au panneau une résistance en compression plus importante, une plus grande capacité de déformation, ainsi qu’un taux de vide avoisinant les 95 %, permettant une légèreté du matériau. Ces structures sont employées en particulier dans l’industrie aéronautique, pour le remplissage de volumes creux, par exemple les extrémités des ailes, mais aussi dans l’automobile, le nautisme, l’éolien, les travaux publics.

De tous les fonds rhombiques, c’est celui choisi par les abeilles qui est optimal :

Voici deux alvéoles avec des fonds rhombiques différents :
Quitte à changer d’unité de longueur, on peut considérer que la longueur du côté de l’hexagone AB’CD’EF’ vaut 1 unité de longueur (figure suivante). La longueur \(\scriptsize h = AH\) est plus grande que 1. L’inclinaison des losanges du fond par rapport aux parois latérales dépend de la position du point B sur l’arête de l’alvéole.
Posons donc \(\scriptsize x = BB’\).
On va calculer l’aire du losange ABCS. Celle-ci est le produit des longueurs des deux diagonales divisé par 2.
Rappelons que P est le milieu de [AC]. (B’P) et (AC) sont perpendiculaires.

Questions :
   1. Combien mesure, en degrés, l’angle \(\scriptsize \widehat{AB'P}\) ?
   2. En déduire la longueur AP puis AC.
   3. Calculer la longueur AB en fonction de \(\scriptsize x\).
   4. Calculer la longueur BS.
   5. Calculer l’aire du losange ABCS.

Point info : une abeille, c’est sympa.

Cependant, on pourrait se demander si le pavage hexagonal, malgré ses atouts déjà vus plus haut, est le pavage du plan le plus économique. En effet, pour paver le plan, on peut accoler des polygones différents, qui ne sont pas forcément réguliers, ni même dont les côtés sont des segments.

La réponse à cette question n’a été établie qu’en 1943, date à laquelle le mathématicien hongrois Fejes Toth démontra que la structure hexagonale régulière restait le polygone le plus économique pour paver le plan parmi tous les polygones à côtés droits.
Étant donné que les alvéoles sont construites avec de la cire chaude, on pourrait aussi se demander s’il n’y a pas moyen de minimiser encore la quantité de cire utilisée en construisant des côtés courbés. Fejes Toth pensait que la structure hexagonale régulière restait encore dans ce cas la plus économique, mais il n’a pas réussi à démontrer ce résultat. Ce n’est qu’en 1999 (eh oui, y’a pas très longtemps…) que Thomas Hales présente une longue preuve utilisant des mathématiques modernes démontrant que la structure hexagonale régulière reste effectivement la plus efficace.

De plus, un angle de 120° est peu fragile. Les coins carrés sont plus sensibles ; quant à ceux du triangle équilatéral, ils sont encore moins solides. Par ailleurs l’hexagone régulier est, de ces polygones, le plus « proche » du cercle, et sans doute le plus « confortable » pour les abeilles, à corps presque cylindrique, et pour leurs larves.

Pourquoi une structure hexagonale pour les parois latérales de l’alvéole ?

Découpons notre alvéole en deux morceaux que nous appellerons M1 et M2 comme sur le schéma ci-contre.
M2 est un prisme donc son aire latérale dépend de la forme de sa base (et de sa hauteur). Cette aire vaut alors (périmètre de la base)×hauteur. Intéressons-nous donc à la forme de la base de M2.
Il s’agit pour les abeilles de paver le plan pour pouvoir ensuite paver l’espace. L’abeille va choisir une même figure afin de faire des alvéoles identiques et dans un souci de simplicité et de symétrie, on s’attend à ce qu’elles choisissent un polygone régulier.

Questions :
   1. Pour un polygone régulier à n côtés (n ≥ 3), quelle est en fonction de n la mesure en degrés de l’angle \(\scriptsize \alpha\), de l’angle \(\scriptsize \beta\), de l’angle φ (angle entre deux côtés consécutifs) ?
   2. Donner une condition nécessaire reliant k et n pour pouvoir accoler par un sommet k polygones réguliers à n côtés. Exprimer k en fonction de n.
   3. Montrer que k est une fonction décroissante de n. Calculer k pour n = 3, 4, 5, 6, 7.

Les abeilles ★ ★ ★ ★ ★

Tout quidam que nous sommes sait que les alvéoles des ruches d’abeilles ont une ouverture de forme hexagonale. Les abeilles forment leur gâteau de cire en accolant deux feuilles d’alvéoles comme sur la photo ci-contre :

Une alvéole pourrait être un prisme, c’est-à-dire que le fond de l’alvéole pourrait être également un hexagone régulier, sauf qu’en réalité, celui-ci n’est pas plan mais est composé de l’accolement de trois losanges (un synonyme de losange est rhombe pour les savants) identiques comme sur le schéma ci-contre :

Chaque losange constitue un tiers du fond d’une alvéole voisine.
Le bord d’entrée de l’alvéole ainsi qu’une bonne partie de la section de celle-ci par un plan parallèle à ce bord est très précisément un hexagone régulier dont le côté mesure environ 3 mm. La profondeur de l’alvéole est de 11,5 mm environ.

La forme hexagonale des alvéoles fut observée par Aristote au IV^e siècle av. J.-C., dans son « Histoire des Animaux », puis étudiée géométriquement au IV^e siècle apr. J.-C. par le mathématicien grec Pappus, qui proposa déjà que cette structure hexagonale soit choisie par les abeilles dans un souci d’économie.

Miroir, mon beau miroir ★ ★ ★ ☆ ☆

Vous voulez équiper votre salle de bain d’un miroir sympa afin de pouvoir vous regarder entièrement dedans. Dans un souci de place et/ou de prix, vous voulez acheter un miroir ayant une hauteur minimale et satisfaisant à vos exigences.
Vous mesurez le recul que vous avez dans votre salle de bain : 2 mètres...
La figure ci-contre vous représente dans votre salle de bain, à 2 mètres du miroir avec OP = 1,58 m (distance de votre œil au sol) et TP = 1,70 m (c’est votre taille).
T’ est le symétrique de T et P’ est le symétrique de P par rapport à la droite (AB).

Questions :
   1. Quelle est la distance AB (taille minimale du miroir) ?
   2. À quelle hauteur le miroir se trouve-t-il, c’est-à-dire quelle est la distance AM ? 
   3. Quelle curiosité se dégage des calculs précédents ?

Réponses :
   1. Dans le triangle OPP’, la droite (AB) est parallèle au côté [OP] et passe par le milieu du côté [PP’]. D’après la réciproque du théorème des milieux, la droite (AB) coupe le côté [OP’] en son milieu. Donc B est le milieu de [OP’].

Quelques extraits...

Miroir, mon beau miroir (collège)

Les abeilles (lycée)

Table des matières

Enfin, les parents d’élèves, les étudiants, le grand public, et tous ceux qui aiment les mathématiques, trouveront intérêt à cet ouvrage.
Dans ce livre, utilisable par tous, nous vous présentons une série d’exercices, de points informatifs, au plus près possible des programmes scolaires et de la vie courante. Les exercices couvrent une très large partie des programmes du secondaire.
Nous avons eu en contact un certain nombre d’interlocuteurs dans différents corps de métiers, afin d’essayer d’être au plus près de la réalité, dans notre contenu.

Une partie des articles a été rédigée à partir d’informations glanées dans les manuels du secondaire, et à partir d’informations sur une multitude de sites internet sans lesquels ce livre n’aurait pu voir le jour.
Nous avons volontairement limité les applications à la physique et les applications des statistiques, dont personne ne conteste l’utilité…
Nous prions les lecteurs les plus rigoureux de nous excuser des abus qu’ils trouveront dans quelques réponses. Nous avons opté parfois pour la concision dans la rédaction plutôt que dans la rigueur parfaite.

Les articles purement informatifs (hormis les thèmes), n’utilisant pas la contribution du lecteur, seront sur fond gris.

Il pourrait, par exemple, se limiter à un cadre purement scolaire : « Les mathématiques ne me servent qu’à obtenir mon brevet et mon bac… ». Avec une vision plus alarmiste, ceci pourrait être une des causes de sa démotivation de l’apprentissage des mathématiques. Dès lors, comment certains élèves expriment-ils cette frustration, cette vision dévalorisante d’un enseignement aussi important ? Eh bien, par exemple, en interpellant un(e) enseignant(e) durant son cours : « Mais monsieur (madame), à quoi ça sert !? ».
Les applications des mathématiques, quand bien même elles sont présentées aux étudiants, ne sont vues qu’à haut niveau d’études, de manière éparse. C’est la raison pour laquelle même un professeur de mathématiques a du mal à répondre de manière claire et concise à la question précédente.

Tout d’abord, un des intérêts des mathématiques est qu’elles sont, comme d’autres disciplines (histoire-géographie…) un objet de connaissances. Avant leur aspect utilitaire, on peut par conséquent les considérer sous une perspective culturelle. Les mathématiques ont en particulier leur place dans l’histoire des hommes et de la pensée humaine.
Ensuite, une utilité majeure des mathématiques dans le secondaire est d’éduquer le raisonnement. Au travers d’une unité cohérente, l’élève apprend à faire des déductions, à utiliser des règles de logique, à vérifier, à conjecturer, à démontrer. En ce sens, les mathématiques sont une méthodologie de l’esprit, apprenant, d’une certaine manière, à mieux raisonner.
D’un point de vue pratique, les mathématiques apprennent donc à mieux analyser, trier, synthétiser la multitude d’informations qui proviennent du monde extérieur et notamment les informations chiffrées.

Introduction

Mais à quoi servent les mathématiques ? En voilà une question ! Celle-ci est familière pour nous bien sûr, professeurs, dans la bouche de nos élèves, mais peut-être aussi pour vous, lecteurs, qui maintenant avez ce livre entre vos mains.
Les mathématiques possèdent de très nombreuses applications dans le monde qui nous entoure. Elles nous aident à améliorer notre quotidien sans que la plupart d’entre nous ne s’en rendent compte. On les retrouve dans la nature, dans l’industrie, dans divers métiers, dans les nouvelles technologies…

Les mathématiques sont le langage de la physique, discipline prestigieuse tentant de décrire et de mesurer le monde. La physique est l’impératrice des mathématiques appliquées, où les grandeurs du monde sont mises en relations par des équations, où la dérivée et l’intégration sont reines.
« Le grand livre de la nature était écrit dans la langue des droites, des cercles, la langue de la géométrie et des mathématiques ».
« Les mathématiques sont le langage de l’Univers » Galilée (1564-1642).

Les sciences naturelles, les sciences économiques, utilisent largement les outils mathématiques, comme les fonctions, la notion de dérivée, d’intégrale, les statistiques, les probabilités…
L’informatique est nombres, logique et algorithmes.

Sans mathématiques, il n’y a pas de technologie possible. Il y a des mathématiques cachées partout autour de vous, dans votre télévision, dans votre téléphone portable, dans vos placards de cuisine… et vous aurez beau y mettre des boules anti-mathématiques, vous ne vous en débarrasserez pas.