Le surbooking
Niveau : terminale générale, spécialité ou Maths Complémentaires (seulement partie A).
Lien avec le programme : loi binomiale, espérance de la loi binomiale, \(E(aX + b)\), échantillonnage, prise de décision, utilisation du tableur.
Lien avec Les maths au quotidien : transport, modèle économique.
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Dans le transport aérien, pour un vol donné, un certain nombre de passagers ayant procédé à une réservation ne se présente pas à l’embarquement. On les appelle les « no-show ».
Les causes sont diverses :
- maladie de dernière minute
- recherche d’emploi qui a abouti juste avant le départ
- retard (embouteillages…)
- prises de plusieurs billets « flexibles » à divers dates avec clauses d’annulation facilitée (les plus chers, souvent pris pour des voyages d’affaires)
- prise de billets aller-retour au même prix, voire moins chers qu’un billet aller
- ...
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Le taux de « no-show » semble se situer en moyenne autour de 5 % (entre 4 % et 10 % selon certaines sources, parfois jusqu’à 20 voire 25 % sur certains vols). Il était plus important il y a quelques années car l’on pouvait annuler sa réservation sans pénalités.
C’est un chiffre en fait confidentiel que les compagnies aériennes rechignent à communiquer, et pour cause, car ce taux de non présentation est intiment lié à un autre, beaucoup moins louable pour les compagnies ; celui de la surréservation :
Pour chacun de leurs vols, afin d’améliorer le taux de remplissage de l’avion et donc la rentabilité du vol, les compagnies n’hésitent pas à proposer un nombre de réservations supérieur au nombre de places dans l’avion :
C’est la
surréservation, ou
surbooking.
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Chaque année un certain nombre de voyageurs sont victimes de cette pratique et ne peuvent embarquer, faute de place disponible.
En fait, sur un vol donné de \(n\) places, les \(n\) premiers passagers arrivés prennent leur vol (certains peuvent être surclassés, ça c’est une bonne nouvelle pour eux) et les autres sont dédommagés financièrement.
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Pour un certain vol futur, le nombre de places en surréservation est calculé à partir de l’estimation du coût de non embarquement (dédommagement, prise en charge des frais d’hôtel, de restaurant, d’appels téléphoniques…) et du taux estimé de no-show pour ce vol. Ces coûts pour la compagnie sont précisément réglementés.
La compagnie estime le taux de « no-show » à partir de l’analyse des taux d’annulation et de non présentation sur les vols de la même ligne aérienne, aux mêmes dates, sur plusieurs années, en tenant compte des évènements exceptionnels.
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Étudions un exemple :
Bien que les « no-show » sont surtout des businessmans qui ont pris des billets « flexibles » (plus chers), on supposera dans la suite que toutes les personnes ayant procédé à une réservation ont la même probabilité de ne pas se présenter à l’enregistrement et que leurs comportements sont indépendants les uns des autres.
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Partie A
Sur le vol 314159 du 5 avril 2022, à destination de Saint Denis de la Réunion, la compagnie Maths-au-quotidien Airways va utiliser l’un de ses puissants A340-300 d’une capacité de 275 places. Elle décide de proposer un nombre \(n > 275\) de réservations.
La compagnie estime le taux de « no-show » sur ce prochain vol à 6 %, c’est-à-dire que chaque personne qui a réservé a 94 chances sur 100 de se présenter à l’enregistrement.
Elle voudrait avoir au moins 95 % de chances que tous les passagers embarquent dans l’avion (d'une capacité de 275 places).
On note \(X_n\) la variable aléatoire désignant le nombre de personnes ayant réservé qui se présentent à l’embarquement.
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1. Compléter la phrase suivante : la compagnie cherche la valeur maximale de \(n\) telle que :
La compagnie estime le taux de « no-show » sur ce prochain vol à 6 %, c’est-à-dire que chaque personne qui a réservé a 94 chances sur 100 de se présenter à l’enregistrement.
Elle voudrait avoir au moins 95 % de chances que tous les passagers embarquent dans l’avion (d'une capacité de 275 places).
On note \(X_n\) la variable aléatoire désignant le nombre de personnes ayant réservé qui se présentent à l’embarquement.
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2. \(X_n\) suit la loi :
La compagnie estime le taux de « no-show » sur ce prochain vol à 6 %, c’est-à-dire que chaque personne qui a réservé a 94 chances sur 100 de se présenter à l’enregistrement.
Elle voudrait avoir au moins 95 % de chances que tous les passagers embarquent dans l’avion (d'une capacité de 275 places).
On note \(X_n\) la variable aléatoire désignant le nombre de personnes ayant réservé qui se présentent à l’embarquement.
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3. \(X_n\) est une variable binomiale de paramètres \(n\) et 0,94.
A l'aide d'un outil numérique, le plus grand entier \(n\) tel que \(P(X_n \leq 275) \geq 0,95\) est :
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La compagnie va donc proposer 286 places pour 275 sièges dans l'avion, c'est à dire 11 de plus.
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Partie B
La compagnie, en faisant du surbooking, cherche principalement à optimiser son chiffre d’affaire. Cette optimisation est en réalité très complexe au vu de tous les paramètres mis en jeu, mais nous allons étudier ce chiffre d’affaire sur un exemple simplifié.
Maintenant, sur ce même vol, la compagnie Maths-au-quotidien Airways espère vendre le billet aller 800 euros en moyenne (toutes classes confondues).
Elle estime qu’elle devra rembourser au total 60 % des billets des personnes « no-show » et payer en moyenne 200 % du prix du billet pour chaque passager qui ne pourront pas embarquer car le vol est complet (prix du billet + 600 € pour le passager + prise en charge du passager…).
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La compagnie se demande quel nombre \(n\) de billets elle doit vendre afin d’optimiser son chiffre d’affaire relatif aux données ci-dessus.
On rappelle que \(X_n\) désigne la variable aléatoire désignant le nombre de personnes ayant acheté un billet et se présentant à l'embarquement.
On note \(Y_n\) le nombre de personnes ayant acheté un billet, se présentant à l'embarquement et obtenant un refus d’embarquer (vol complet).
On note \(G_n\) la variable aléatoire désignant le chiffre d’affaires lié aux billets, en centaines d’euros, de la compagnie sur ce vol.
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1. L’espérance de \(X_n\) est :
Sur ce même vol, la compagnie Maths-au-quotidien Airways espère vendre le billet aller 800 euros en moyenne (toutes classes confondues).
Elle estime qu’elle devra rembourser au total 60 % des billets des personnes « no-show » et payer en moyenne 200 % du prix du billet pour chaque passager qui ne pourront pas embarquer car le vol est complet (prix du billet + 600 € pour le passager + prise en charge du passager…).
La compagnie se demande quel nombre \(n\) de billets elle doit vendre afin d’optimiser son chiffre d’affaire relatif aux données ci-dessus.
On rappelle que \(X_n\) désigne la variable aléatoire désignant le nombre de personnes ayant acheté un billet et se présentant à l'embarquement.
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2. \(Y_n\) est égale à :
Sur ce même vol, la compagnie Maths-au-quotidien Airways espère vendre le billet aller 800 euros en moyenne (toutes classes confondues).
Elle estime qu’elle devra rembourser au total 60 % des billets des personnes « no-show » et payer en moyenne 200 % du prix du billet pour chaque passager qui ne pourront pas embarquer car le vol est complet (prix du billet + 600 € pour le passager + prise en charge du passager…).
La compagnie se demande quel nombre \(n\) de billets elle doit vendre afin d’optimiser son chiffre d’affaire relatif aux données ci-dessus.
On note \(Y_n\) le nombre de personnes ayant acheté un billet, se présentant à l'embarquement et obtenant un refus d’embarquer (vol complet).
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3. L’expression de \(G_n\) en fonction de \(n\), \(X_n\) et \(Y_n\) est :
Sur ce même vol, la compagnie Maths-au-quotidien Airways espère vendre le billet aller 800 euros en moyenne (toutes classes confondues).
Elle estime qu’elle devra rembourser au total 60 % des billets des personnes « no-show » et payer en moyenne 200 % du prix du billet pour chaque passager qui ne pourront pas embarquer car le vol est complet (prix du billet + 600 € pour le passager + prise en charge du passager…).
La compagnie se demande quel nombre \(n\) de billets elle doit vendre afin d’optimiser son chiffre d’affaire relatif aux données ci-dessus.
On note \(G_n\) la variable aléatoire désignant le chiffre d’affaires lié aux billets, en centaines d’euros, de la compagnie sur ce vol.
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4. On suppose dans cette question que \(n \leq 275\) (absence de surbooking).
L’expression de \(G_n\) en fonction de \(n\), \(X_n\) et \(Y_n\) est :
Sur ce même vol, la compagnie Maths-au-quotidien Airways espère vendre le billet aller 800 euros en moyenne (toutes classes confondues).
Elle estime qu’elle devra rembourser au total 60 % des billets des personnes « no-show » et payer en moyenne 200 % du prix du billet pour chaque passager qui ne pourront pas embarquer car le vol est complet (prix du billet + 600 € pour le passager + prise en charge du passager…).
La compagnie se demande quel nombre \(n\) de billets elle doit vendre afin d’optimiser son chiffre d’affaire relatif aux données ci-dessus.
On note \(G_n\) la variable aléatoire désignant le chiffre d’affaires lié aux billets, en centaines d’euros, de la compagnie sur ce vol.
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5. L'espérance de \(G_n\) est :
Sur ce même vol, la compagnie Maths-au-quotidien Airways espère vendre le billet aller 800 euros en moyenne (toutes classes confondues).
Elle estime qu’elle devra rembourser au total 60 % des billets des personnes « no-show » et payer en moyenne 200 % du prix du billet pour chaque passager qui ne pourront pas embarquer car le vol est complet (prix du billet + 600 € pour le passager + prise en charge du passager…).
La compagnie se demande quel nombre \(n\) de billets elle doit vendre afin d’optimiser son chiffre d’affaire relatif aux données ci-dessus.
On note \(G_n\) la variable aléatoire désignant le chiffre d’affaires lié aux billets, en centaines d’euros, de la compagnie sur ce vol.
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6. On suppose que la compagnie a vendu exactement 268 billets.
Quel chiffre d'affaires la compagnie peut-elle alors espérer sur ce vol ?
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7. On suppose dans cette question que \(n\) > 275 (surbooking).
On s’intéresse au nombre maximal \(n\) de places à proposer à la réservation afin de réaliser le chiffre d’affaires (C.A.) maximal.
- Ouvrir une feuille de calcul sur tableur.
- Dans la cellule A1 écrire la valeur de \(n\) : on choisit initialement 276.
- Dans la cellule B1, simuler un résultat de la variable aléatoire \(X_n\).
- Dans la cellule C1, simuler un résultat de la variable aléatoire \(Y_n\).
- Dans la cellule D1, simuler un résultat de la variable aléatoire \(G_n\).
- Étirer les formules vers le bas afin de réaliser 10 000 simulations.
- Dans la cellule E1, calculer la moyenne des 10 0000 valeurs de \(G_n\) obtenues.
- En modifiant la valeur de A1, remplir le tableau suivant (arrondir à l’unité).
Toute formule commence par le signe « = »
Tâche à accomplir
Aide
Simuler un résultat d’une variable binomiale de paramètres \(n\) et \(p\).
Recopier une formule un certain nombre de fois
Obtenir le maximum de deux nombres
Calculer une moyenne
Verrouiller une référence
Pour refaire une simulation identique
Utiliser la commande
= CRITERE.LOI.BINOMIALE(\(n\) ; \(p\) ; ALEA())
Utiliser la poignée de recopie
= MAX(nbre1 ; nbre2)
= MOYENNE(A1:A20) calcule la moyenne des 20 nombres des cellules A1 à A20.
Références absolues : une référence précédée du symbole $ est verrouillée. Par exemple dans une formule :
– $A1 fera toujours référence à la colonne A.
– A$1 fera toujours référence à la ligne 1.
– $A$1 fera toujours référence à la cellule A1.
Appuyer sur la touche F9
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8. Combien la compagnie Maths-au-quotidien Airways va-t-elle vendre de billets afin de récupérer le maximum de flouze :
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Bilan
La compagnie va donc proposer 292 places pour 275 sièges dans l'avion,
c'est à dire
17 de plus.
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Vous avez obtenu un taux de réussite de :
- Fin -
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