Niveau : Terminale générale Lien avec le programme :
Probabilité, probabilité conditionnelle, indépendance, marche aléatoire et comportement asymptotique.
Lien avec Les maths au quotidien : Loisirs. Terminale générale, Maths expertes.
Sommaire
I. Introduction II. Déplacements concernant le résultats du jet des 2 dés III. Déplacements concernant la sortie de prison IV. Déplacements concernant les cartes Chance et Caisse de communauté V. Marche aléatoire convergente, état stable VI. Rentabilité
I. Introduction
Le Monopoly est certainement le plus célèbre des jeux de société, et le plus vendu à travers le monde. Nous allons ici étudier l’aspect mathématique du jeu, et tenter de modéliser le plus précisément possible ses règles, notamment avec une marche aléatoire.
Bien que chacun d’entre nous ait au moins joué une fois au Monopoly dans sa vie, nous allons rappeler le fonctionnement du jeu :
Chaque joueur possède un pion qui se déplace sur un plateau de 40 cases (en boucle). Il s’agit d’acheter, vendre ou louer des propriétés de manière à devenir le plus riche possible. Les déplacements sont régis par le jet de deux dés cubiques ou par certaines cartes (cartes Chance et Caisse de communauté).
Le plateau du jeu est composé de 40 cases, numérotées de 1 à 40 de la case Départ à la rue de la Paix :
Les rues sont regroupées par familles, symbolisées par des couleurs. Dès qu’un joueur possède une famille, il peut commencer à bâtir dessus (maisons et hôtels).
Le joueur jette deux dés et avance son pion du nombre de cases indiqué par les dés. Si le résultat est un « double », il rejoue immédiatement. Si le joueur lance trois « doubles » consécutifs, il est envoyé directement en prison sans jouer son troisième coup.
Lorsque le pion d’un joueur arrive sur une case « Chance » ou « Caisse de Communauté », ce dernier doit tirer la carte du dessus du paquet correspondant puis se conformer aux instructions : la carte peut le laisser sur place ou lui imposer de se rendre sur une autre case. Parmi les 16 cartes Chance possibles, seulement 7 modifient la position :
- Avancez jusqu’à la case départ (1)
- Allez en prison (11)
- Avancez au boulevard de la Villette (12)
- Allez à la gare de Lyon (16)
- Rendez-vous à l’avenue Henri Martin (25)
- Rendez-vous rue de la Paix (40)
- Reculez de trois cases
Parmi les 16 cartes Caisse de Communauté, trois seulement affectent la position de manière directe :
- Placez-vous sur la case départ (1)
- Retournez à Belleville (2)
- Allez en prison (11)
La carte Caisse de communauté « Payez une amende de cent euros ou bien tirez une carte Chance » peut aussi modifier la position du pion, si le joueur choisit de tirer une carte Chance et que celle-ci provoque un déplacement.
Un joueur arrivant sur une propriété n’appartenant à aucun joueur peut acheter celle-ci, sinon elle est immédiatement vendue aux enchères. Si la propriété appartient à quelqu’un d’autre, il doit payer un loyer d’autant plus élevé que la propriété est construite (1, 2, 3, 4 maisons ou un hôtel).
Un joueur qui est en prison sort dans l’un des cas suivants :
- il possède une carte « vous êtes libéré de prison » et décide de l’utiliser.
- il lance un double avec les dés.
- il choisit de payer une amende de 500 euros.
- il est à son troisième tour de prison (et doit payer l’amende…).
La case 31 « Allez en Prison » n’est pas une case où l’on peut s’arrêter, et pour différencier la Prison de la simple visite, la case « Simple visite » sera la case 11 et la case Prison la case 31.
Chaque pion part de la case départ et la trajectoire du pion est modélisée par une marche aléatoire à 40 états, les états étant les numéros des cases du plateau sur lequel le pion arrive. Notons qu’une case « Caisse de communauté » ou « Chance » qui emmène sur une autre case ne sera pas prise en compte dans la marche aléatoire.
Voici le fichier Excel avec en premier lieu la matrice de transition de la marche aléatoire modélisant le jeu de Monopoly :
La matrice de transition est la matrice « verte ».
Dans la suite, nous allons expliquer certains aspects de la modélisation mathématique des règles du jeu, expliquer une partie de la construction de la matrice de transition, étudier le comportement asymptotique de cette marche aléatoire et l’existence d’un état stable, qui va fournir la probabilité de passage sur chaque case ; les cases sont-elles équiprobables ? On s’intéressera aussi à la notion de rentabilité en simulant des bénéfices.
II. Déplacements concernant le résultats du jet des 2 dés
Pour commencer, d’une case donnée, on ne peut pas aller sur n’importe quelle case. Déjà, le résultat d’un jet de 2 dés est un nombre compris entre 2 et 12. Mais quelle est la probabilité de chacun de ces résultats ?
Remplir le tableau suivant donnant la somme des résultats de 2 dés :
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
Soit \( X \) la variable aléatoire donnant le résultat du jet de deux dés.
En déduire le tableau suivant :
\( x \)
2
3
4
5
6
\( P(X = x) \)
7
8
9
10
11
12
Rappel des résultats précédents :
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
Nous prenons maintenant en compte la règle des trois doubles consécutifs qui mènent en prison : pour simplifier, on « suit » le résultat du jet de dés seulement s’il ne mène pas en prison, c’est-à-dire s’il n’est pas un troisième double consécutif.
La probabilité de faire un double est :
Donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
Rappel des résultats précédents :
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
\( x \)
2
3
4
5
6
\( P(X = x) \)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
7
8
9
10
11
12
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
Les 3 lancers constituent des évènements indépendants, la probabilité de faire 3 doubles à la suite est de :
\( x \)
2
3
4
5
6
\( P(X = x) \)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
7
8
9
10
11
12
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
La probabilité de faire un double est 1/6
Un résultat qui est un double est nécessairement un nombre pair, par conséquent, pour tenir compte de cette règle, nous allons modifier \( P(X = 2)\), \( P(X = 4) \),\( P(X = 6) \), \( P(X = 8) \), \( P(X = 10) \) et \( P(X = 12) \) . Il faut en effet les remplacer par les probabilités respectives de faire un tel total lors du jet des dés et que ce jet ne soit pas un troisième double.
Par exemple, on remplace \( P(X = 2) \) par \( P(X = 2) - P\)(« On a lancé 3 doubles dont le dernier donne 2 »).
Par indépendance des lancers, on calcule :
\( P\)(« On a lancé 3 doubles dont le dernier donne 2 ») =
De la même manière, on soustrait 1/ 1 296 à chacune des probabilités en question.
Le tableau donnant la loi de probabilité de \( X \) devient :
\( x \)
2
3
4
5
6
\( P(X = x) \)
7
8
9
10
11
12
Ecrire des fractions
\( x \)
2
3
4
5
6
\( P(X = x) \)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
7
8
9
10
11
12
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
La probabilité de faire un double est 1/6
la probabilité de faire 3 doubles à la suite est de 1/216
\( P\)(« On a lancé 3 doubles dont le dernier donne 2 ») = 1/1296
Quels seraient par exemples les coefficients suivants de la matrice de transition M, si on ne considérait que les lancers de dés ?
la probabilité de faire 3 doubles à la suite est de 1/216
\( P\)(« On a lancé 3 doubles dont le dernier donne 2 ») = 1/1296
\( x \)
2
3
4
5
6
\( P(X = x) \)
35/129635/1296
2/36
107/1296
4/36
179/1296
7
8
9
10
11
12
6/36
179/1296
4/36
107/1296
2/36
35/1296
On ajoute aussi 1/216 à chacun des coefficients \( M_{i,31} \) de la matrice de transition puisque l’on peut maintenant aller en prison de n’importe quelle case en faisant trois doubles, avec probabilité 1/216.
Par exemple, si on ne considère que les lancers de dés :
\( M_{26,31} \) =
\( M_{7,31} \) =
la probabilité de faire 3 doubles à la suite est de 1/216
\( P\)(« On a lancé 3 doubles dont le dernier donne 2 ») = 1/1296
Lorsqu’un joueur se trouve en prison (case 31), il peut payer une amende pour sortir. S’il refuse, il lance les dés, et s’il fait un double ou si c’est son troisième tour de prison, il sort.
On va considérer ici que si le joueur décide de rester en prison lors du premier tour, il décide d’y rester le maximum de temps. Nous avons donc à prendre en compte un facteur décisionnel humain non aléatoire, et pouvant changer au cours de la partie : on sait bien qu’il vaut mieux sortir rapidement de prison en début de partie afin d’être présent sur les terrains pour les acquérir, et qu’il vaut mieux rester en prison en fin de partie, lorsque les terrains sont bâtis, pour ne pas à avoir payer de loyers (contrairement à une croyance répandue, on touche ses loyers quand on est en prison…).
Cependant, afin d’avoir une marche aléatoire « homogène » nous allons plutôt prendre en compte, pour chaque jets de dés du joueur et tout le long de la partie, une décision « moyenne » : on va introduire dans notre modèle la probabilité du choix « Le joueur paye l’amende pour sortir » que l’on note b. La probabilité du choix « Le joueur refuse de payer l’amende pour sortir » sera donc \( 1 - b \).
Une valeur de \( b \) proche de 1 correspondra donc plutôt à un début de partie et une valeur proche de 0 correspondra plutôt à une fin de partie.
On suppose maintenant que le joueur est en prison et que c’est son tour de jouer.
Notons S l’évènement : « le joueur sort de prison », C l’évènement « le joueur choisit de sortir de prison ». D’après la formule des probabilités totales :
On suppose maintenant que le joueur est en prison et que c’est son tour de jouer.
Notons S l’évènement : « le joueur sort de prison », C l’évènement « le joueur choisit de sortir de prison ». D’après la formule des probabilités totales :
Nous allons maintenant calculer la probabilité de sortie de prison \( P_S(\overline{C}) \) pour le joueur qui a choisi d’y rester le plus longtemps possible : sortie par un double ou bien au bout de trois tours.
Pour cela, on se place dans le nouvel univers \( \overline{C} \) et on appelle \( S_\overline{C} \) l’évènement « le joueur sort de prison ». On a donc \( P_\overline{C}(S) = P(S_\overline{C}) \).
Le joueur est soit à son premier tour de prison, soit à son deuxième, soit à son troisième, et ces évènements, notés respectivement \( T_1, T_2 \) et \( T_3 \) constituent une partition de l’univers \( \overline{C} \).
\( P(T_1) + P(T_2) + P(T_3) = 1\)
P(On reste en prison en ne faisant pas un double) = 5/6
\( P(T_2) = \) 5/6 \( \times P(T_1) \) et
\( P(T_3) = \) 5/6 \( \times P(T_2) \)
\( P(T_1) = \) 36/91
\( P(T_2) = \) 30/91
\( P(T_3) = \) 25/91
Par conséquent, \( P(S) = P_C(S)\times P(C) + P_\overline{C}(S) \times P(\overline{C}) = b + (1 - b)\times \frac{36}{91} \)
C’est la formule entrée dans la cellule AT49 du fichier Excel et qui apparait donc dans la ligne 31 de la matrice de transition.
Quand on sort de prison, les dés peuvent nous emmener :
- sur les cases
- sur les cases qui sont les cases d’arrivés des déplacements ordonnée par la case 18 « Caisse de communauté »
- sur les cases qui sont les cases d’arrivés des déplacements ordonnée par la case 23 « Chance »
donner les résultats par ordre croissant, séparer chaque numéro par une virgule
IV. Déplacements avec les cartes Chance et Caisse de communauté
On va considérer dans notre modèle qu’à chaque jet de dés, toutes les cartes Chance et toutes les cartes Caisse de communauté ont la même probabilité d’être choisies. C’est finalement comme si on mélangeait les cartes à chaque changement de joueur…
Parmi les 16 cartes Chance possibles, seulement 7 modifient la position :
- Avancez jusqu’à la case départ (1)
- Allez en prison (11)
- Avancez au boulevard de la Villette (12)
- Allez à la gare de Lyon (16)
- Rendez-vous à l’avenue Henri Martin (25)
-Rendez-vous rue de la Paix (40)
- Reculez de trois cases
Par conséquent, lorsqu’on arrive sur une case « Chance », on a une probabilité de d’y rester et chacun des 7 changements de position a pour probabilité
Il y a cependant une petite complication : nous pouvons tirer une carte Chance à la case 37, reculer de trois cases (case 34) et donc tirer une carte Caisse de communauté qui peut nous emmener vers d’autres destinations…
Parmi les 16 cartes Caisse de Communauté, trois seulement affectent la position de manière directe :
- Placez-vous sur la case départ (1)
- Retournez à Belleville (2)
- Allez en prison (11)
Il y a également une carte Caisse de communauté spéciale, qui, comme la sortie de prison, fait intervenir un facteur décisionnel humain non aléatoire : la carte Caisse de communauté « Payez une amende de cent euros ou bien tirez une carte Chance ». Cette carte peut de plus modifier la position du pion si le joueur choisit de tirer une carte Chance et que celle-ci provoque un déplacement.
Comme pour la sortie de prison, nous introduisons dans notre modèle la probabilité, notée a, de payer l’amende plutôt que choisir la carte Chance. La probabilité de choisir la carte Chance sera donc \( 1 - a \). Une valeur de a proche de 0 correspond plutôt à un début de partie (peu de danger de se déplacer, et au contraire, pour acheter…) et une valeur de a proche de 1 à une fin de partie.
Cette carte amène le déplacement le plus compliqué du jeu, où il est possible de tirer deux cartes Chance dans le même tour de jeu :
Par exemple, on est rue Lafayette (30). On arrive sur la case 37, avec probabilité
On tire la carte « Reculez de trois cases », avec probabilité . On arrive donc sur la case 34 et on tire la carte « Payez une amende de cent euros ou bien tirez une carte Chance », avec probabilité et on choisit de tirer une carte Chance, avec probabilité .
La carte Chance tirée est « Rendez-vous rue de la Paix », avec probabilité (attention, il y a un piège…)
La probabilité de ce déplacement est donc \( \times(1 - a) \)
Petit exercice
Le joueur est place Pigalle. Quelle est la probabilité qu’il aille sur la case Départ ?
Le joueur est rue de Courcelles. Quelle est la probabilité qu’il aille sur la case Départ ?
Le joueur est sur la case Départ. Quelle est la probabilité qu’il aille en Prison ?
V. Marche aléatoire convergente, état stable
Dans le fichier Excel est calculée la matrice \( M^n \) où \( M \) est la matrice de transition de notre modèle de Monopoly et \( n \) un exposant choisi par l’utilisateur.
Par exemple, on calcul \( M^1000 \). Cette matrice ne comporte aucun zéro, par conséquent on peut affirmer que la marche aléatoire converge vers un état probabiliste stable. L’observation des différentes colonnes de cette matrice permet de « trouver » les premières décimales des coefficients de cet état stable.
Comme au début du jeu les pions partent de la case Départ, l’état initiale de la marche aléatoire est le vecteur \( U_0 \) = (1 0 0 … 0) . La suite \( (U_0 M^n) \) converge vers l’état stable.
Les 40 composantes de l’état stable représentent les probabilités de passage sur chaque case à un lancer de dés quelconque.
Un diagramme permet de représenter ces différentes probabilités. Celles-ci changent bien sûr en fonction des taux décisionnels \( a \) et \( b \). Le lecteur est invité à modifier ces paramètres…
Dans tous les cas, c’est l’avenue Henri-Martin qui est la rue la plus fréquentée (autour de 3,1 %) et l’avenue des Champs-Élysées la moins fréquentée (autour de 2,1 %).
On vous laisse le soin d’observer les autres probabilités.
À droite de ce diagramme, un autre diagramme représente le taux de passage par rue de chaque famille.
VI. Rentabilité
Bien que les taux de passage sur chaque rue sont très sensiblement différents, il ne faut pas nécessairement conclure qu’il faille acheter les rues de plus fort taux de passage… N’oublions pas que ce qui compte, c’est de gagner le maximum de pognon et d’en faire perdre le maximum aux adversaires… Regardons donc de plus près les bénéfices réalisés par l’obtention des différentes cartes.
En bas du fichier Excel, un tableau indique les bénéfices réalisés par un joueur qui possède les différentes rues, en fonction du nombre de tours réalisés par les adversaires pour chaque période du jeu : « avoir la rue seule », « avoir la famille de cette rue », « avoir \( k \) maison(s) dans cette rue » \( (k \in {1, …, 5}) \). Le lecteur est invité à faire varier ces nombres de tours à son gré et de se faire une idée de la rentabilité de chaque famille.
Il semblerait bien que « l’ordre » soit respecté pour les familles à trois rues : à long terme, les verts sont les plus intéressants, puis les jaunes, les rouges, les oranges…
Les bleus foncés sont moins intéressants financièrement à long terme, mais il n’y a que deux rues et non trois. On voit bien d’ailleurs dans le tableau que rue de la Paix est la rue qui à long terme rapporte largement le plus de bénéfice…
De plus, nous comparons ces familles sur les mêmes périodes de jeu et nous ne tenons pas comptent d’autres paramètres, par exemple il semble plus facile de réunir deux cartes d’une famille que trois… même si dans les échanges de cartes, des facteurs psychologiques interviennent…
Niveau : Terminale générale
