Lien avec le programme : triangle, somme des angles, inégalité triangulaire, cas d’égalité des triangles.
Mettre en œuvre ou écrire un protocole de construction d’une figure géométrique.
Comprendre l’effet d’une rotation sur une figure. Utiliser un logiciel de géométrie dynamique.
Résoudre des problèmes de géométrie plane, prouver un résultat général, valider ou réfuter une conjecture.
Caractérisation du triangle équilatéral, alignement de points, angles (cycle 3).
Lien avec Les maths au quotidien : Représentations visuelles, Transport.
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Première situation
On considère deux plaques parallèles en plexiglas, reliées par trois bâtonnets perpendiculairement.
On trempe ce dispositif dans de l’eau savonneuse, on la sort délicatement et on regarde ce qui se passe.
Un film de savon s’est formé, reliant les trois bâtonnets. Ce film, composé de trois rectangles, est perpendiculaire à la surface des plaques
(loi de Plateau).
Vu de dessus, les bâtonnets forment un triangle et le film trois segments reliant les sommets à un point singulier, intérieur au triangle.
L’aire du film de savon est la somme de celles des trois rectangles de même largeur (l’écartement entre les plaques) et dont les longueurs
sont les distances du point singulier aux sommets du triangle.
La physique nous indique que le film de savon minimise son aire (énergie potentielle minimale).
La somme des trois distances est également minimisée...
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Deuxième situation
On perce trois trous sur une plaque de bois suivant un triangle.
On fait passer par les trous trois ficelles à l'extrémité desquelles on suspend des poids de masse identique.
On réunit ces ficelles par un nœud. Quand le système est en équilibre, son énergie potentielle est minimale :
la somme des trois altitudes des trois poids est minimale.
Cela se produit quand la somme des longueurs "verticales"
des trois ficelles est maximale, c'est-à-dire quand la somme des longueurs "horizontales" des trois ficelles est minimale...
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Soit ABC un triangle dont tous les angles sont inférieurs à 120°.
On admet qu’il existe un point et un seul, noté F, à l’intérieur du triangle ABC, tel que la somme des longueurs AF + BF + CF soit minimale.
Ce point est appelé point de Fermat du triangle ABC (ou point de Torricelli, ou point de Steiner).
Exemple de point à l’intérieur du triangle (qui n’est pas F...)
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Ouvrir les deux fichiers GeoGebra ci-contre et émettre pour chaque situation une conjecture.
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Démonstrations des conjectures
Supposons qu’aucun angle du triangle ABC n’est supérieur à 120°.
On construit sur [AB] le triangle équilatéral BAC’.
Soit P un point à l’intérieur du triangle ABC.
On considère alors l’image du triangle ABP par la rotation de centre B et d’angle 60° (sens direct : inverse des aiguilles d’une montre).
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Par conséquent, le point de Fermat F appartient à (CC’) et \(\small\widehat{BFA}\) = 120°.
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Un raisonnement analogue montre que :
F appartient à (AA’) et \(\small\widehat{BFC} = 120°\)
F appartient à (BB’) et \(\small\widehat{CFA} = 120°\)
où A' et B' sont les troisièmes sommets respectifs des triangles équilatéraux construits sur [BC] et [AC].
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Remarque
Dans le cas où le triangle ABC a un angle supérieur à 120°, on pourrait montrer que le point de Fermat existe
également et est le sommet de cet angle.
C’est donc, dans ce cas, l’un des sommets du triangle.
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Utilisation du logiciel GeoGebra
Ouvrir un fichier GeoGebra vierge, construire un triangle ABC et son point de Fermat F.
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Point info
La réunion des segments [AF], [BF] et [CF] s’appelle arbre de Steiner, associé aux trois points A, B, C.
Le problème qui précède fait partie d’un problème plus général, la recherche d’un arbre de Steiner entre quatre points,
cinq points, ... \(n\) points.
Ci-contre, un exemple pour 5 points, la somme des distances est minimale
:
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Déterminer un arbre de Steiner peut avoir un grand intérêt pratique, notamment d’un point de vue économique.
À titre d’exemple, on peut citer la conception de grands réseaux (télécommunication, distribution électrique,
pipelines, aqueducs et oléoducs, réseaux routiers, ferroviaires...) ou bien le routage des circuits imprimés en électronique.
Un exemple concret est celui fourni par le mathématicien américain Edgar Gilbert, qui s’est intéressé aux
arbres de Steiner, notamment pour la mise en réseau de grandes villes américaines. Son traitement du problème
faisait baisser le coût total de l’ordre de 240 millions de dollars par rapport à une autre solution, en considérant les
arbres minimaux de Steiner...
On perce trois trous sur une plaque de bois suivant un triangle.
On fait passer par les trous trois ficelles à l'extrémité desquelles on suspend des poids de masse identique.
On réunit ces ficelles par un nœud. Quand le système est en équilibre, son énergie potentielle est minimale :
la somme des trois altitudes des trois poids est minimale. 
Supposons qu’aucun angle du triangle ABC n’est supérieur à 120°. 
Dans le cas où le triangle ABC a un angle supérieur à 120°, on pourrait montrer que le point de Fermat existe
également et est le sommet de cet angle. 
