Niveau : 3e Lien avec le programme :
De quel angle la tour de Pise penche-t-elle ? Hauteur du septième étage ? Trigonométrie, théorème de Thalès.
Lien avec Les maths au quotidien : Batiment.
Se munir d'un papier et d'un crayon
et d'une calculatrice collège.
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La tour de Pise
Voici un petit exercice qui va vous permettre de déterminer l'angle
que fait la tour de Pise avec le sol ainsi que la hauteur du septième étage.
Historique
La construction de cette tour débuta le 9 août 1173.
Elle a commencé à pencher dès la fin de la construction du troisième
étage (en 1178), ce qui a interrompu sa construction pendant 90 ans.
Le dernier étage des cloches a été achevé en 1372.
L'inclinaison de la Tour de Pise est due soit à un défaut de fondation,
soit à un affaiblissement de terrain dû à une roche (la tour est construite sur une zone innondable).
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Munissons-nous d'une règle et plaçons-nous du côté sud de la tour (c'est de ce côté qu'elle penche le plus).
Si vous ne savez pas reprérer le sud, allez voir l'animation de la partie Repérage. 🙂
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Plaçons la règle perpendiculairement au sol telle que
l'extrémité supérieure touche la tour...
On obtient alors un triangle ABC rectangle en A.
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La règle mesure 20 cm.
On mesure, au sol, une longueur AC de 1,4 cm.
Compléter les champs suivants :
Dans le triangle
rectangle en
\(tan (\widehat{BCA}) = \)
\(\widehat{BCA} \approx \)° (arrondir au degré près)
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Nous savons maintenant que la tour de Pise est inclinée de 86° vers le sud.
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Thècle et son copain Rôgeais décident de déterminer la hauteur du septième étage.
Pour cela, Rôgeais monte au septième étage et, côté sud, il laisse tomber une bille en verre (sans donner d'élan).
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Thècle mesure, au sol, la distance du pied de la tour à la marque laissée par l'impact de la bille : 3,3 m.
On obtient une configuration ressemblant à la figure suivante :
AC = 1,4 cm
EC = cm
AB = 20 cm
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Thècle pense alors à deux méthodes pour calculer la hauteur à laquelle la bille a été lâchée :
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Compléter les champs suivants :
Dans le triangle rectangle en :
\(tan(\widehat{ECD}) = \)
On en déduit que ED ≈ cm, soit ED ≈ m
Arrondir tous les résultats à l'entier
EC = 330 cm et \(\widehat{C}\) = 86°
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Compléter les champs suivants :
Les droites (DE) et AB sont perpendiculaires à la droite (EC), ces droites sont donc .
Or, d'après le théorème de :
Niveau : 3e
