Le mur du son

Niveau : 3^e
Lien avec le programme : Trigonométrie, géométrie dans l'espace, propriété de Thalès, propriété d'un cercle, grandeurs composées

Lien avec Les maths au quotidien : Transport.







Ancienne version (flash) de l'activité ici.

Le mur du son

Quand un avion est en vol, il comprime l'air devant lui et crée une dépression derrière lui, étant donné qu’il faut un peu de temps à l’air pour remplir l’espace laissé vide par l’avion. En chaque point de sa trajectoire, l’avion émet ainsi une onde de compression-dépression, qui se propage à la vitesse du son dans toutes les directions à partir du point d'émission. Le front d'onde est une sphère, centrée sur la position de l'avion quand il a émis cette onde et dont le rayon croît proportionnellement au temps écoulé depuis l’émission.

Le rapport de la vitesse de l’avion et de la vitesse du son s’appelle le nombre de Mach, en l’honneur du physicien et philosophe autrichien Ernst Mach.

Par exemple, un avion volant une fois et demie plus vite que le son possède une vitesse de Mach 1,5.

Le mur du son

Considérons quatre instants \(t_1\), \(t_2\), \(t_3\), \(t_4\) séparés deux à deux d’une seconde.

Considérons 3 ondes, émises par l’avion aux instants \(t_1\), \(t_2\) et \(t_3\). On note \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), \(A_4\) les positions respectives de l’avion sur sa trajectoire aux temps \(t_1\), \(t_2\), \(t_3\), \(t_4\). On note \(S_1\), \(S_2\), \(S_3\) les sphères, obtenues au temps \(t_4\) des ondes émises aux temps \(t_1\), \(t_2\), \(t_3\).

Dans toute l’activité, on considère que les ondes sonores se déplacent dans l’air à 340 m/s (en fait, cela dépend quelque peu de la pression et surtout de la température de l’air…).

Premier cas :
L'avion voyage à une vitesse de Mach .
\(S_1\) est la sphère centrée sur et de rayon m.



1. Placer le centre de la sphère \(S_1\) suivante sur le dessin afin qu'il coïncide avec l'un des points \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) ou \(A_4\).


2. Puis, redimensionner si besoin la sphère en cliquant sur l'un des boutons : ou
Pour réinitialiser la sphère c'est ici :

Premier cas :
\(S_2\) est la sphère centrée sur et de rayon m.



1. Placer le centre de la sphère \(S_2\) suivante sur le dessin afin qu'il coïncide avec l'un des points \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) ou \(A_4\).



2. Puis, redimensionner si besoin la sphère en cliquant sur l'un des boutons : ou
Pour réinitialiser la sphère c'est ici :

Premier cas :
\(S_3\) est la sphère centrée sur et de rayon m.



1. Placer le centre de la sphère \(S_3\) suivante sur le dessin afin qu'il coïncide avec l'un des points \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) ou \(A_4\).



2. Puis, redimensionner si besoin la sphère en cliquant sur l'un des boutons : ou
Pour réinitialiser la sphère c'est ici :

Deuxième cas :
L'avion voyage à une vitesse de Mach .
\(S_1\) est la sphère centrée sur et de rayon m.


1. Placer le centre de la sphère \(S_1\) suivante sur le dessin afin qu'il coïncide avec l'un des points \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) ou \(A_4\).


2. Puis, redimensionner si besoin la sphère en cliquant sur l'un des boutons : ou
Pour réinitialiser la sphère c'est ici :

Deuxième cas :
\(S_2\) est la sphère centrée sur et de rayon m.



1. Placer le centre de la sphère \(S_2\) suivante sur le dessin afin qu'il coïncide avec l'un des points \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) ou \(A_4\).


2. Puis, redimensionner si besoin la sphère en cliquant sur l'un des boutons : ou
Pour réinitialiser la sphère c'est ici :

Deuxième cas :
\(S_3\) est la sphère centrée sur et de rayon m.



1. Placer le centre de la sphère \(S_3\) suivante sur le dessin afin qu'il coïncide avec l'un des points \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) ou \(A_4\).


2. Puis, redimensionner si besoin la sphère en cliquant sur l'un des boutons : ou
Pour réinitialiser la sphère c'est ici :

Les phères d'onde sont tangentes en un point symbolisant ce que l'on appelle le mur du son.

Troisième cas :
L'avion voyage à une vitesse de Mach .
\(S_1\) est la sphère centrée sur et de rayon m.



1. Placer le centre de la sphère \(S_1\) suivante sur le dessin afin qu'il coïncide avec l'un des points \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) ou \(A_4\).


2. Puis, redimensionner si besoin la sphère en cliquant sur l'un des boutons : ou
Pour réinitialiser la sphère c'est ici :

Troisième cas :
\(S_2\) est la sphère centrée sur et de rayon m.



1. Placer le centre de la sphère \(S_2\) suivante sur le dessin afin qu'il coïncide avec l'un des points \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) ou \(A_4\).


2. Puis, redimensionner si besoin la sphère en cliquant sur l'un des boutons : ou
Pour réinitialiser la sphère c'est ici :

Troisième cas :
\(S_3\) est la sphère centrée sur et de rayon m.



1. Placer le centre de la sphère \(S_3\) suivante sur le dessin afin qu'il coïncide avec l'un des points \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) ou \(A_4\).


2. Puis, redimensionner si besoin la sphère en cliquant sur l'un des boutons : ou
Pour réinitialiser la sphère c'est ici :

Tous les fronts d'onde se chevauchent et les sphères d'onde sont logées dans un cône appelé le cône de Mach dont le sommet est la position de l'avion. c'est le sillage supersonique de l'avion (figure jaune suivante).









Dans ces conditions, la pression s'accumule très fortement à l'avant de l'avion. Lorsque le cône qui avance avec l'avion "balaie" ma position d'un observateur, ce dernier entend alors le bruit de l'avion comme un bang ultra sonore soudain et retentissant. Et c'est le choc d'air comprimé sur nos tympans qui produit la détonation.

Attention :
Le bang supersonique n'est pas seulement produit lorsque l'avion franchit le mur du son mais il l'est constamment tout au long de la phase de vol supersonique. Mais l'observateur ne l'entend qu'une seule fois (au moment où il est traversé pas le cône de Mach).

Justification que deux sphères d’onde données, par exemple \(S_1 \) et \(S_3\), ont la même tangente passant par \(A_4\) (le même raisonnement tiendrait pour deux sphères d’onde quelconque).










Plaçons-nous dans un plan contenant la trajectoire de l’avion. Soit \(C_1\) et \(C_3\) les cercles d’intersection des sphères d’ondes \(S_1\) et \(S_3\) par ce plan.
Soit \(B_1\) le point de \(S_1\) tel que \((A_4B_1)\) est tangente à \(C_1\), ce qui signifie que cette droite est perpendiculaire au rayon \([A_1B_1]\) du cercle \(C_1\).
Notons \(B_3\) le point d’intersection de \((A_4B_1)\) et de la droite parallèle à \((A_1B_1)\) passant par \(A_3\).
Montrons que la longueur \(A_3B_3\) est égale au rayon de \(C_3\).

Compléter les champs suivants.







Les droites \((A_1B_1)\) et \((A_3B_3)\) étant , on peut appliquer le théorème de :
\(A_4A_3\)/\(A_4A_1\) = \(A_3B_3\)/\(A_1B_1\) , c'est-à-dire / = \(A_3B_3\)/ .
Donc \(A_3B_3\) = m.
On en déduit que \([A_3B_3]\) est un du cercle \(C_3 \) et donc ∈ \(C_3\). De plus \([A_3B_3]\) est perpendiculaire à \((A_4B_3)\) et donc \((A_4B_3)\) est à \(C_3\) en \(B_3\).
\(C_1\) et \(C_3\) ont donc la même tangente passant par \(A_4\).

Comment déterminer l'angle α du cône Mach ?
Supposoons que l'avion vole à Mach 2 grâce à son puissant réacteur. Considérons une onde émise en \(A_1\) et la position de l'avion en \(A_4\) au bout de trois secondes. L’angle α du cône de Mach est l’angle \(\widehat{A_1A_4B_1}\).

Dans le triangle \(A_1A_4B_1\) rectangle en \(B_1 \) :
La longueur \(A_1A_4\) vaut m. La longueur \(A_1B_1\) vaut m.
On en déduit que (α) = / (fraction irréductible)
Et donc α = °

Utilisation de l'angle du cône de Mach pour évaluer la vitesse d'un avion 

                                
Dans l’exemple précédent, on remarque que sin (α) = 1/nombre de Mach,
c’est-à-dire sin (α) = Vitesse du son/Vitesse de l'avion.
Cette relation est vraie dans le cas général.
Le sinus de l’angle de Mach α est donc inversement proportionnel à la vitesse de l’avion.

Dans certaines conditions atmosphériques humides, la dépression à l’intérieur du cône de Mach condense la vapeur d’eau de l’atmosphère, permettant ainsi de visualiser le cône de choc. La relation précédente peut permettre alors de déterminer la vitesse supersonique de l’avion.

Déterminons une valeur approchée de la vitesse supersonique de ce F-4 Phantom.
On prendra une vitesse du son de 340 m/s.

On ne prendra pas les valeurs arrondies pour faire les calculs mais on gardera les valeurs fournies par la calculatrice.

Mesurer sur l’image l’angle α du cône de Mach, ou plutôt l'angle 2α qui est plus facile à mesurer.
α = °
L’avion vole donc à une vitesse de Mach (arrondir à 0,01 près).
L’avion vole donc à une vitesse de m/s (arrondir à l’unité),
soit km/h (arrondir à la centaine).

Déterminons une valeur approchée de la vitesse supersonique de ce F/A-18.
On prendra une vitesse du son de 340 m/s.

Mesurer sur l’image l’angle α du cône de Mach, ou plutôt l'angle 2α qui est plus facile à mesurer. α = °
L’avion vole donc à une vitesse de Mach (arrondir à 0,01 près).
L’avion vole donc à une vitesse de m/s (arrondir à l’unité),
soit km/h (arrondir à la centaine).

L’angle α étant toujours compris entre 0 et 90 degrés et



Plus l’avion va vite et plus l’angle de Mach est petit, c’est-à-dire le cône de Mach étroit.
On le constate effectivement sur les deux exemples précédents.

Vous avez obtenu un taux de réussite de :

- Fin -