Niveau : 3e Lien avec le programme :
Conversion, nombres entiers et rationnels, fractions
Lien avec Les maths au quotidien : Dates et heures. Conversion.
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L’année tropique est l'intervalle de temps moyen qui s'écoule entre deux mêmes saisons successives. Elle est à la base des calendriers solaires.
Sa valeur, établit en l’an 2 000 est d’environ 365,24219 jours et c’est cette valeur que nous prendrons dans la suite.
L’année tropique vaut environ :
j
h
min
s.
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On souhaite construire un calendrier basé sur l’année tropique.
Le premier problème que nous rencontrons est que 365,24219 n’est pas un nombre entier. Cela aurait été trop beau.
Il va donc falloir introduire par ci par là des années qui n’ont pas 365 jours mais 366, les années bissextiles, afin qu’en moyenne une année dure environ 365,24219.
Voyons comment pourrait-on faire.
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Pour commencer, nous avons donc une année de base de 365 jours, mais il manque environ 0,24219 jour par an.
On écrit : 365,24219 = 365 + 0,24219 = 365 +
(fraction irréductible).
Cela signifie que sur une période de ans, il faudrait donc ajouter jours.
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Il faudrait alors ajouter régulièrement un jour toutes les années (arrondir à 5 décimales).
Ce n’est pas très pratique.
Le nombre précédent est compris entre les entiers consécutifs et .
Il faut donc ajouter un jour tous les ou ans.
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Soit \(n\) le nombre d’années bissextiles à placer après une période de 3 années normales et \(m\) le nombre d’années bissextiles à placer après une période de 4 années normales.
Ces années bissextiles sont donc espacées respectivement de 4 et 5 ans.
On obtient alors ce que l'on appelle un système d'équations.
Ce système est le suivant :
$$
\left \{
\begin{array}{rcl}
&n& + &m& &=& 24\ 219 \\
&4n& + &5m& &=& 100\ 000
\end{array}
\right.$$
La résolution d'un tel système n'est plus au programme de collège, mais après quelques opérations (que l'on verra en 2de *), on obtient \(n = 21\ 095\) et \(m = 3\ 124 \).
* Résolution :
\( n + m = 24\ 219 \) donc \( m = 24\ 219 - n \)
Donc en remplaçant \( m \) par son expression dans la deuxième équation, on obtient :
\( 4n + 5(24\ 219 - n) = 100\ 000\)
\( 4n + 121\ 095 - 5n = 100\ 000\)
\( -n = -21\ 095\)
\( n = 21\ 095\)
Par suite, \( m = 24\ 219 - 21\ 095 = 3\ 124 \)
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Il faudrait donc 21 095 années bissextiles à placer après une période de 3 années normales et 3 124 années bissextiles à placer après une période de 4 années normales.
Hooo les chevaux ! cela devient compliqué...
Essayons de trouver une autre fraction \(\frac{a}{b}\) que 365 + \(\frac{a}{b} \approx \) 365,24219, et qui fournit un système calendaire plus simple.
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0,24219 est proche de la fraction
1
En faisant cette approximation, on obtient 365,24219 \(\approx\) 365 +
Une année comporte alors 365 jours à laquelle on ajoute 1 jour tous les 4 ans : les années multiples de 4 sont bissextiles.
C’est le calendrier julien, introduit par Jules César en -46, et en vigueur jusqu’à la fin du XVIe siècle et, dans certains pays, jusqu'au XXe siècle.
On calcule l’erreur commise : 365,25 - 365,24219 = jours = heures
Soit environ min par an (arrondir à l'entier).
presque jours par millénaire (arrondir à l'entier).
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En 325, le premier concile de Nicée fixe le jour de Pâques comme le premier dimanche après la pleine lune qui suit le 21 mars. Pourquoi la pleine lune ? À l'origine, la Pâque est fixée par les juifs au 15 du mois de nissan. Le mois commençant le jour de la nouvelle lune, le 15 du mois correspond alors à la pleine lune.
Pourquoi le 21 mars ? En fait l'équinoxe de printemps était fixé, à l'origine, dans le calendrier julien, le 25 mars (le jour du solstice d'hiver a alors lieu le 25 décembre qui deviendra Noël). Mais à l'époque du concile de Nicée, en 325, on observe que l'équinoxe tombe le 21 mars.
Bien entendu, cette différence s’explique par le retard accumulé depuis l’an -46.
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Ce n’est qu’en 1582 que le calendrier julien a été réformé par le pape Grégoire XIII : c’est le calendrier grégorien. Son année 1 est celle de l’année supposée de naissance de Jésus Christ et l’année commence le premier janvier. Le jour de l'équinoxe de printemps varie et peut avoir lieu un 20 mars, un 21 mars ou un 22 mars.
Son usage s'est progressivement étendu à l'ensemble du monde au début du XXe siècle.
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Dans le calendrier julien il y avait trop d’années bissextiles car 365,25 > 365,24219. On décida que les années multiples de 4 sont bissextiles, sauf les années multiples de 100 non multiples de 400.
L’année grégorienne dure donc en moyenne 365 +
1
-
1
+
1
soit ans.
On calcule l’erreur commise : près de secondes par an.
jours pour 10 000 ans.
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Depuis le concile de Nicée en 325 et la réforme du calendrier julien en 1583, le calendrier julien a de plus produit une erreur de jours d’avance (arrondir à l’entier)
L’équinoxe de printemps, qui devait avoir lieu le 21 mars 1583, a eu lieu le mars 1583.
Le pape Grégoire XIII décida alors que le jeudi 4 octobre 1582 serait immédiatement suivi par le vendredi octobre pour compenser le décalage accumulé au fil des siècles.
Le calendrier julien produit une erreur de 11 minutes par an.
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Comme on l’a vu, notre calendrier occidental actuel est un aménagement du calendrier julien.
Nous allons maintenant découvrir un outil mathématique capable de fournir d’autres calendriers simples, et plus précis que le nôtre.
Nous allons développer \(\frac{24\ 219}{100\ 000}\) en fraction continue, grâce à l’algorithme d’Euclide (divisions euclidiennes successives).
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Algorithme d’Euclide avec les nombres 100 000 et 24 219
Effectuons la division euclidienne de 100 000 et 24 219
(1) 100 000 = × 24 219 +
Effectuons à nouveau une division euclidienne : celle du diviseur précédent par le reste précédent :
(2) 24 219 = 7 × 3 124 + 2 351
On réitère ces divisions euclidiennes jusqu'à obtenir un reste égal à 1.
(3) 3 124 = 1 × 2 351 + 773
(4) 2 351 = 3 × 773 + 32
(5) 773 = 24 × 32 + 5
(6) 32 = 6 × 5 + 2
(7) 5 = 2 × 2 + 1
(notons (*) cette égalité)
De la même manière, (2) amène : \(\frac{24\ 219}{3\ 124}\) = 7 +
et donc \(\frac{3\ 124}{24\ 219}\) =
1
7 +
et en remplaçant dans (*) :
\(\frac{24\ 219}{100\ 000} = \frac{1}{4+\frac{1}{7+\frac{2\ 351}{3\ 124}}} \)
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En répétant la même procédure pour les 6 dernières étapes de l’algorithme d’Euclide, puis en remplaçant de proche en proche dans les égalités obtenues on obtient :
En faisant cette approximation, on obtient 365,24219 \(\approx\) 365 +
Il faut donc avoir années bissextiles dans une période de années.
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29 = 4×6 + 5×1.
On pourrait donc obtenir un calendrier en ayant par exemple une période de 6 années bissextiles tous les 4 ans puis 1 année bissextile 5 ans après la 6e année bissextile précédente, puis le cycle recommence.
Les années bissextiles seraient donc par exemple les années 4, 8, 12, 16, 20, 24, 29, 33, 37, …
On calcule l’erreur commise : à peu près secondes par an.
un peu plus de jours pour 10 000 ans (arrondir à l’entier)
En faisant cette approximation, on obtient 365,2422 \(\approx\) 365 +
Il faut donc rendre années bissextiles dans une période de années.
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33 = 4×7 + 5×1.
On pourrait donc obtenir un calendrier en ayant par exemple une période de 7 années bissextiles tous les 4 ans puis 1 année bissextile 5 ans après la 7e année bissextile précédente, puis le cycle recommence. Les années bissextiles seraient donc par exemple 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 33, 37, …
Avec 365,2422 \(\approx\) 365 + \(\frac{8}{33} \), on calcule l’erreur commise :
environ secondes par an.
soit environ jours pour 10 000 ans (arrondir à l’entier).
C’est mieux que notre calendrier grégorien !
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De manière encore plus précise :
\(\frac{24\ 219}{100\ 000} \approx \) [0, 4, 7, 1, 3] = \(\frac{1}{4+\frac{1}{7+\frac{1}{1+\frac{1}{3}}}} \) = \(\frac{31}{128}\)
En faisant cette approximation, on obtient 365,24219 \(\approx\) 365 + \(\frac{31}{128}\)
Il faut donc rendre 31 années bissextiles dans une période de 128 années.
128 = 4×31 + 4
On pourrait donc obtenir un calendrier en ayant par exemple une année bissextile tous les 4 ans sauf une tous les 128 ans.
Les années bissextiles seraient donc par exemple 4, 8, 12, …, 120, 124, 132, 136, 140, ...
On calcule l’erreur commise : environ seconde par an soit jours pour 1 000 000 ans (arrondir au dixième).
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On pourrait continuer ainsi pour gagner encore en précision. Cependant, le placement des années bissextiles est compliqué dans tous les derniers cas (regardez-vous-même).
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Le calendrier persan
Le célèbre mathématicien perse Omar Khayyam avait déjà proposé au XIe siècle un calendrier basé sur l’approximation 365,24219 ≈ 365 + \(\frac{8}{33} \) , dans le cadre de la réforme du calendrier perse : le calendrier Jalali.
Comme on l’a vu, cette proposition est, déjà à cette époque, plus précise que notre calendrier grégorien !
Après la proposition der Khayyam, le calendrier Jalali a été en fait formé de manière plus complexe, avec des cycles de 29 ans, de 33 ans et de 37 ans.
Nous avons écrit 33 = 7×4 + 5.
Nous avons aussi : 29 = 6×4 + 5 et 37 = 8×4 + 5.
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Dans un cycle de 29 ans, il y a 7 années bissextiles et dans un cycle de 37 ans, il y en a 9.
1 cycle de 29 ans (7 années bissextiles) et 3 cycles de 33 ans (8 années bissextiles chacun) forment un super cycle de 128 ans avec 31 années bissextiles, cycle déjà présent dans notre fraction continue ! C’est pas magique ça !?
1 cycle de 29 ans (7 années bissextiles), 2 cycles de 33 ans (8 années bissextiles chacun) et 1 cycle de 37 ans (9 années bissextiles) forment un super cycle de 132 ans avec 32 années bissextiles.
En faisant suivre 21 super cycles de 128 ans et un super cycle de 132 ans, on obtient un hyper cycle de 2 820 années avec 683 années bissextiles. C’est ça le calendrier Jalali.
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Chaque cycle de 2 820 ans se décompose ainsi :
2 820 ans
21 × 128 ans
1 × 29 ans
années bissextiles : n° 5, 9, 13, 17, 21, 25 et 29
3 × 33 ans
années bissextiles : n° 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29 et 33 (pour chacun des 3 cycles).
1 × 132 ans
1 × 29 ans
années bissextiles : n° 5, 9, 13, 17, 21, 25 et 29.
2 × 33 ans
années bissextiles : n° 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29 et 33 (pour chacun des 2 cycles).
1 × 27 ans
années bissextiles : n° 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33 et 37.
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Les années sont numérotées à l’intérieur de chaque période de 29, 33 ou 37 ans.
Soit \(n\) le numéro d’ordre de l’année dans sa période. L’année est bissextile si \(n > 1\) et si le reste de la division euclidienne de \(n\) par 4 est 1.
L’année 1 de ce calendrier est l’année de l’Hégire, en 622 de notre ère, et le tout premier jour de ce calendrier a été le jour du solstice de printemps de l’année 622. Comme entre deux solstices de printemps s’écoule en moyenne une année tropique, le moment exact du solstice de printemps détermine le premier jour de l’année de ce calendrier : si l’heure exacte de l’équinoxe vernal est avant midi, ce jour est le jour du nouvel an ; sinon, le premier jour de l’année sera le lendemain.
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L’année compte 365 ou 366 jours et est composée de 12 mois. Les 6 premiers comptent 31 jours, les 5 suivants 30 jours et le dernier mois 29 ou 30 jours.
Le calendrier Jalali est en vigueur en Iran depuis 1925, et en Afghanistan depuis 1957.
La durée moyenne de l’année dans un cycle de 2 820 ans est de :
\(\frac{2\ 137\times 365 + 683\times366}{2\ 820} \) = 365,24219858156 jours.
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Vous allez dire que c’est moins bien et bien plus compliqué que le système utilisant \(365 + \frac{31}{128}\) mais il faut préciser deux choses :
1. À l’époque de la mise en place du calendrier Jalali, Khayyam avait justement fixé la valeur de l’année tropique à 365,24219858156 jours, après quatre ans d'observations. De plus, il s’intéressait à l’intervalle de temps entre deux équinoxes de printemps, ce qui diffère légèrement de l’année tropique moderne qui tient compte de toutes les saisons (il n’y a pas la même durée entre deux printemps consécutifs et entre deux automne consécutifs par exemple).
2. La durée de l’année tropique diminuerait de 0,53 seconde par siècle. Par conséquent, à l’époque d’Omar Khayyam, l’année tropique comportait environ 5 secondes de plus, c'est-à-dire que sa valeur était d’environ 365,24225.
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