Un profil de Joukovski

Niveau : Terminale générale
Lien avec le programme : Term. Maths Expertes. Forme exponentielle. Formules d’Euler, Ensemble 𝕌. Équation de degré 2 à coefficients réels. Calculs sur des nombres complexes

Lien avec Les maths au quotidien : Transport.

Dans l’aéronautique, afin notamment de concevoir les meilleurs profils d’aile d’avion, on étudie l’écoulement de l’air autour d’une surface (comme justement un profil d’aile) en termes de trajectoire et de vitesse. On peut en déduire d'autres propriétés de l'écoulement, comme les coefficients de pression et de portance du profil, ou le coefficient de traînée.
Les lois de la mécanique des fluides montrent que si nous connaissons l’écoulement de l’air autour d’un certain profil simple, comme par exemple un cylindre (cercle vu de côté), et que nous connaissons une transformation conforme du plan qui transforme ce cercle en une autre figure plus complexe, on pourra déduire l’écoulement de l’air autour de ce nouveau profil.

Mais c’est quoi une transformation conforme ?

C’est une transformation du plan conservant (localement) les angles entre deux courbes orientées, c'est-à-dire que si deux courbes $ C_1 $ et $ C_2 $ se coupent en$ A $, et que leurs vecteurs tangents en$ A $ (dans le sens de l'orientation) forment un angle $ \alpha $, les vecteurs tangents en $ f (A) $ aux deux courbes images $ f (C_1) $ et $ f (C_2) $ forment également l'angle $ \alpha $.
joukovski

La transformation de Joukovski, nommée d’après le savant aérodynamicien russe Nikolaï Joukovski, est une transformation du plan complexe dans lui-même, utilisée historiquement dans le calcul des profils d’aile d'avion.

Elle transforme un point $ M $ d’affixe $ z $ non nul en le point $ M’ $ d’affixe $ z’ $ telle que : $$ z’ = \dfrac{1}{2}\left(z + \dfrac{1}{z} \right) $$ Notons $ z’ = J(z) $.

Partie A : ensemble des points fixes par la transformation

$ J(z) = \dfrac{1}{2}\left(z + \dfrac{1}{z} \right) $

$ J(z) = z $ est équivalente à :

L’ ensemble des points fixes par la transformation de Joukovski est :

Partie B : Images de $ \mathbb{R}^* $, de $ i\mathbb{R}^* $ par $ J $

$ J(z) = \dfrac{1}{2}\left(z + \dfrac{1}{z} \right) $

Calculer mentalement en simplifiant :

$ J(i) $ :
$ J(-3i) $ :
$ J(2i) $ :
$ J(1) $ :
$ J(-3) $ :
$ J(2) $ :

Si $ z = iy $ est imaginaire pur, alors :

$ J(z) = \dfrac{1}{2}\left(z + \dfrac{1}{z} \right) $

Avec un outil numérique, déterminer l’image par $ J $ de $ \mathbb{R}^* $ :

$ J(z) = \dfrac{1}{2}\left(z + \dfrac{1}{z} \right) $
$ J(iy) = \dfrac{i}{2}\left(y - \dfrac{1}{y} \right) $

$ J(\mathbb{R}^*) = ... $

Avec un outil numérique, déterminer l’image par $ J $ de $ i\mathbb{R}^* $ (ensemble des imaginaires purs non nuls) :

$ J(z) = \dfrac{1}{2}\left(z + \dfrac{1}{z} \right) $
$ J(iy) = \dfrac{i}{2}\left(y - \dfrac{1}{y} \right) $

$ J(i\mathbb{R}^*) = ... $

Partie C - Images du cercle unité

$ J(z) = \dfrac{1}{2}\left(z + \dfrac{1}{z} \right) $
$ J(iy) = \dfrac{i}{2}\left(y - \dfrac{1}{y} \right) $

Calculer

$ J\left( \dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = $

$ J(z) = \dfrac{1}{2}\left(z + \dfrac{1}{z} \right) $
$ J(iy) = \dfrac{i}{2}\left(y - \dfrac{1}{y} \right) $

Calculer

$ J\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} + i\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = $
Utiliser sqrt(a) pour $ \sqrt{a} $

$ J(z) = \dfrac{1}{2}\left(z + \dfrac{1}{z} \right) $

Soit $ M $ d’affiche $ z $ sur le cercle trigonométrique $ C $.
Soit $ a = arg(z) $.

Écrire $ J(z) $ en fonction de $ a $:

$ J(z) = $

$ A(-1) ; B(1) ; C(-i) ; D(i) $

On en déduit que l’image du cercle $ C $ par la transformation de Joukovski est :

$ J(z) = \dfrac{1}{2}\left(z + \dfrac{1}{z} \right) $

En résolvant une équation, on trouve que :
Tout élément de ]-1 ; 1[ admet par $ J $ ...

La transformation de Joukovski transforme donc chacun des deux demi-cercles, inférieur et supérieur composant le cercle unité, en le segment [AB].

L’écoulement (horizontal) autour du segment (plaque rectangulaire d’épaisseur nulle en 3 dimensions) est le plus simple possible, puisque c'est comme si le segment n'était pas là : des droites horizontales représentent les lignes d’écoulement qui montrent la vitesse du vent. La transformation conforme qui produit cela est la transformation identique id : z ⟼ z.
joukovski

Pour calculer l'écoulement autour du cercle unité, il suffit d’appliquer à l’écoulement trivial autour du segment [AB] (au-dessus et en dessous) l’inverse de la transformation de Joukovski vers le demi-cercle supérieur ou inférieur…

Un profil de Joukovski est engendré par la transformation d’un cercle de centre différent de O qui passe par le point d'affixe 1. L’affixe du centre du cercle est le paramètre dont dépend la forme du profil. Ce dernier peut avoir une forme de lemniscate, ou de profil d'aile d'avion, selon le paramètre choisi.
Encore une fois, en appliquant la transformation de Joukovski au cercle unité, on obtient l’écoulement autour du profil de Joukovski.

Les aéronefs équipés de profils de Joukovski avaient besoin d'importantes motorisations ; ils ne furent plus guère utilisés après la Première Guerre mondiale.

Par ailleurs, cette méthode ne permet pas de calculer le coefficient de traînée (les hypothèses à la base du calcul, fluide parfait et écoulement bidimensionnel, conduisent à une traînée nulle).

On admet que la transformation de Joukovski est une transformation conforme. Ceux qui continueront les mathématiques dans leur étude verront peut-être que pour qu’une application complexe soit conforme, il faut et il suffit qu’elle soit holomorphe de dérivée non nulle.

Amusez-vous avec les trois fichiers GeoGebra

Un profil de Joukovski

Partie A : ensemble des points fixes par la transformation

Partie B : Images de \( \mathbb{R}^* \), de \( i\mathbb{R}^* \) par \( J \)

Partie C - Images du cercle unité

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