Quelques constructions d'un pentagone régulier ''à la règle et au compas''

Construction dite 'de Ptolémée'  ~  T1*

Agrandir / réduire le pentagone

Johan MATHIEU [26-07-2009]

rectangle d'or ?

Construction 'des tangentes à un cercle'  ~  T1*

* On distingue ici deux ' types de construction' :
T1 : construction à partir d'un sommet et du centre du cercle circonscrit au pentagone
T2 : construction à partir d'un côté (deux sommets consécutifs du pentagone)

Construction 'des cercles tangents'  ~  T1*

Construction 'egyptienne'  ~  T1*

l'oeil d'Horus ?

Pas vraiment... mais ça y fait penser !

Sur l'oeil d'Horus : http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/profplus/publica/bulletin/bull08/horus.htm

Construction 'd'architecte'  ~  T2*

Construction 'à partir d'un carré inscrit dans un demi-cercle'  ~  T2*

On connaît un sommet du pentagone, le point R,
ainsi que le centre O du cercle circonscrit à ce pentagone...

On note H le milieu du segment [CO].

On trace le cercle c circonscrit au pentagone, c'est-à-dire
le cercle de centre O de rayon OR.
On note C le symétrique de R par rapport à O.

On note E le point d'intersection de la demi-droite [CR)
et du cercle de centre H de rayon HA.

La longueur AE est la longueur d'un côté du pentagone; on va
donc la reporter...

Le cercle de centre R, de rayon AE, coupe le cercle circonscrit
au pentagone en deux points : F et D.

Le cercle de centre F, de rayon AE, coupe le cercle circonscrit
au pentagone en un point I.

Le cercle de centre I, de rayon AE, coupe le cercle circonscrit
au pentagone en un point K.

On trace un rayon [OA] du cercle c,
perpendiculaire au segment [CR].

On note I_1 le milieu de [OA]
et H_1 le point situé au quart de [OC] en partant de O.

Le cercle de centre H_1 et de rayon H_1I_1 coupe
le diamètre [CR] en deux points : J_1 et K_1.

La perpendiculaire à [CR] passant par K_1 coupe le cercle
c en deux points : O_1 et N_1.
De même, la perpendiculaire à [CR] passant par J_1
le coupe en deux points : M_1 et L_1.

On note I_1 le milieu de [OA], et on trace le cercle
de centre I_1, de diamètre OA.

La demi-droite [CI_1) coupe le cercle de centre I_1 et de
diamètre OA en deux points : G_3 et H_3.

Le cercle de centre C passant par G_3 coupe 
le cercle c en deux points : I_3 et J_3.

Le cercle de centre C passant par H_3 coupe 
le cercle c en deux points : K_3 et L_3.

On connaît un sommet du pentagone, le point T_2,
ainsi que le centre O du cercle circonscrit à ce pentagone...

On trace le cercle c circonscrit au pentagone, c'est-à-dire
le cercle de centre O de rayon OT_2.
On note B_2 le symétrique de T_2 par rapport à O.

On trace un diamètre [M_2N_2] perpendiculaire à [T_2B_2].

On note H le milieu de [M_2O], et on trace le cercle 
de centre H passant par M_2 et O...

La demi-droite [B_2H) coupe le cercle précédemment 
tracé en un point O_2.

On trace le cercle de centre B_2 passant par O_2.
Il coupe le cercle c en deux points : W_2 et Z_2.

Le cercle de centre W_2 (resp. Z_2) et de rayon W_2T_2
coupe le cercle c en un point A_3 (resp. B_3).

On connaît deux sommets du pentagone : P_1 et Q_1
(autrement dit, un côté du pentagone).

On trace le cercle q_2 de centre P_1 passant par Q_1.

La droite perpendiculaire à (P_1Q_1) passant par P_1
coupe le cercle q_2 en un point R_1.

Le cercle de centre S_1 passant par R_1 coupe 
la demi-droite [Q_1P_1) en un point T_1.

Le cercle de centre Q_1 passant par T_1 coupe 
le cercle q_2 en un point U_1.

La médiatrice de [P_1Q_1] coupe le cercle précédemment
tracé en un point M_3.

Le cercle de centre M_3 passant par U_1 et
le cercle de centre Q_1 passant par P_1
se coupent en un point N_3.

On trace le carré P_1Q_1Q_3P_3 de côté [P_1Q_1]

On note S_1 le milieu de [P_1Q_1].
On trace le cercle de centre S_1 passant par P_3 : il coupe
la droite (P_1Q_1) en deux points R_3 et S_3.

Le cercle de centre P_1 passant par Q_1 et
le cercle de centre Q_1 passant par R_3
se coupent en un point T_3.

De même, le cercle de centre Q_1 passant par P_1 et
le cercle de centre P_1 passant par S_3
se coupent en un point U_3.

De plus, les cercles de centre Q_1 et P_1
ainsi tracés (en bleu) se coupent 
et forment un point V_3.

* T2 : construction à partir d'un côté (deux sommets consécutifs du pentagone)

* T1 : construction à partir d'un sommet et du centre du cercle circonscrit au pentagone

a = false
b = 4.7 (slider from 1 to 10, step 0.1)
O = (8.16, -2.32)
c = Circle(O, b)
C = Point(c)
d = Ray(C, O)
B, R = Intersect(c, d)
e = Segment(C, R)
H = Midpoint(O, C)
f = OrthogonalLine(O, e)
A_1, A = Intersect(c, f)
g = Segment(A, A_1)
h = Circle(H, Distance[H, A])
E = Intersect(h, Ray[O, R])
k = CircleArc(H, E, A)
i = Segment(H, A)
j = Segment(A, E)
p = Circle(R, Distance[A, E])
D, F = Intersect(p, c)
q = Circle(F, Distance[A, E])
G, I = Intersect(q, c)
r = Circle(I, Distance[A, E])
J, K = Intersect(r, c)
poly1, r_1, f_1, i_1, k_1, d_2 = Polygon(R, F, I, K, D)
etapesc1 = 0 (slider from 0 to 8, step 1)
L, M = Intersect(Circle[I, Distance[C, R] / 11.0], q)
N, P = Intersect(Circle[K, Distance[C, R] / 11.0], r)
Q, S = Intersect(Circle[D, Distance[C, R] / 11.0], p)
T, U = Intersect(Circle[F, Distance[C, R] / 11.0], p)
s = CircumcircleArc(L, I, M)
t = CircumcircleArc(N, K, P)
c_1 = CircumcircleArc(Q, D, S)
d_1 = CircumcircleArc(U, F, T)
l = Segment(O, A)
α = Angle(R, O, A)
e_1 = Circle(C, Distance[C, O] * 4.0 / 3.0)
g_1 = Circle(R, Distance[C, O] * 4.0 / 3.0)
V, W = Intersect(g_1, e_1)
Z, B_1 = Intersect(Circle[W, Distance[C, O] / 9.0], g_1)
C_1, D_1 = Intersect(Circle[W, Distance[C, O] / 9.0], e_1)
h_1 = CircumcircleArc(D_1, W, C_1)
p_1 = CircumcircleArc(B_1, W, Z)
m = Segment(C, H)
n = Segment(H, O)
a_1 = Segment(R, F)
b_1 = Segment(I, F)
j_1 = Segment(I, K)
l_1 = Segment(R, D)
m_1 = Segment(R, W)
n_1 = Segment(C, W)
o = false
q_1 = Line(E, l)
s_1 = Line(A, e)
t_1 = Line(C, l)
E_1 = Intersect(t_1, s_1)
F_1 = Intersect(q_1, s_1)
poly2, e_2, f_2, e_3, c_2 = Polygon(E, F_1, E_1, C)
texte3: "L / l = env. " + (Distance[C, E] / Distance[E, F_1])
nbdor = 1.618033988749895
texte4: "φ = env. " + nbdor
u = false
etapesc2 = 0 (slider from 0 to 6, step 1)
G_1 = Midpoint(C, H)
H_1 = Midpoint(H, O)
a_2 = Segment(C, G_1)
b_2 = Segment(G_1, H)
g_2 = Segment(H, H_1)
h_2 = Segment(H_1, O)
I_1 = Midpoint(l)
i_2 = Segment(I_1, O)
j_2 = Segment(I_1, A)
k_2 = Circle(H_1, I_1)
J_1, K_1 = Intersect(k_2, e)
l_2 = Segment(H_1, I_1)
m_2 = OrthogonalLine(K_1, e)
n_2 = OrthogonalLine(J_1, e)
L_1, M_1 = Intersect(c, n_2)
N_1, O_1 = Intersect(c, m_2)
β = Angle(R, K_1, O_1)
γ = Angle(H, J_1, M_1)
poly3, r_2, o_1, m_3, l_3, n_3 = Polygon(R, O_1, M_1, L_1, N_1)
v = false
etapesc3 = 0 (slider from 0 to 7, step 1)
p_2 = Circle(I_1, A)
w = false
etapesc4 = 0 (slider from 0 to 7, step 1)
R' = Mirror(R, e)
W' = Mirror(W, e)
V_1 = Mirror(B_1, e)
W'_1 = Mirror(W, e)
Z' = Mirror(Z, e)
W_1 = Mirror(D_1, e)
W'_2 = Mirror(W, e)
Z_1 = Mirror(C_1, e)
C' = Mirror(C, e)
W'_3 = Mirror(W, e)
A_2 = Midpoint(O, R)
p_3 = Circle(H, O)
q_3 = Circle(A_2, O)
e_4 = Circle(A, 1.3 * Distance[A, R])
z = false
T_2 = Point(O, Vector[Vector[O, A]])
B_2 = Mirror(T_2, O)
d_3 = Segment(T_2, B_2)
f_3 = Circle(T_2, Distance[C, O] * 4.0 / 3.0)
g_3 = Circle(B_2, Distance[C, O] * 4.0 / 3.0)
C_2, D_2 = Intersect(g_3, f_3)
h_3 = Segment(C_2, T_2)
i_3 = Segment(B_2, C_2)
a_4 = Segment(B_2, D_2)
b_4 = Segment(T_2, D_2)
c_4 = Circle(C_2, Distance[C, R] / 18.0)
d_4 = Circle(D_2, Distance[C, R] / 18.0)
E_2, F_2 = Intersect(c_4, g_3)
G_2, H_2 = Intersect(c_4, f_3)
I_2, J_2 = Intersect(g_3, d_4)
K_2, L_2 = Intersect(f_3, d_4)
f_4 = CircumcircleArc(G_2, C_2, H_2)
g_4 = CircumcircleArc(F_2, C_2, E_2)
h_4 = CircumcircleArc(I_2, D_2, J_2)
k_4 = CircumcircleArc(L_2, D_2, K_2)
M_2, N_2 = Intersect(c, e)
i_4 = Ray(B_2, H)
O_2 = Intersect(CircleArc[H, O, M_2], i_4)
p_4 = Circle(B_2, O_2)
q_4 = Circle(T_2, Distance[B_2, O_2])
P_2, Q_2 = Intersect(q_4, p_4)
r_4 = Circle(Q_2, Distance[C, R] / 10.0)
s_4 = Circle(P_2, Distance[C, R] / 10.0)
R_2, S_2 = Intersect(r_4, p_4)
U_2, V_2 = Intersect(p_4, s_4)
t_4 = CircleArc(B_2, V_2, S_2)
W_2, Z_2 = Intersect(t_4, c)
j_4 = Segment(B_2, O_2)
l_4 = Segment(T_2, W_2)
c_5 = Circle(W_2, T_2)
d_5 = Circle(Z_2, T_2)
A_3 = Intersect(c_5, CircleArc[O, M_2, N_2])
B_3 = Intersect(d_5, CircleArc[O, M_2, N_2])
e_5 = Circle(A_3, Distance[C, R] / 11.0)
f_5 = Circle(B_3, Distance[C, R] / 11.0)
C_3, D_3 = Intersect(e_5, c_5)
E_3, F_3 = Intersect(f_5, d_5)
g_5 = CircleArc(W_2, C_3, D_3)
h_5 = CircleArc(Z_2, E_3, F_3)
m_4 = Segment(W_2, A_3)
n_4 = Segment(Z_2, B_3)
poly5, t_5, w_2, a_5, b_5, z_2 = Polygon(T_2, W_2, A_3, B_3, Z_2)
k_5 = CircleArc(T_2, Q_2, P_2)
p_5 = CircleArc(B_2, P_2, Q_2)
v_1 = false
w_1 = false
j_3 = Ray(C, I_1)
G_3, H_3 = Intersect(p_2, j_3)
k_3 = Circle(C, G_3)
I_3, J_3 = Intersect(k_3, c)
i_5 = Segment(C, G_3)
q_5 = Circle(C, H_3)
K_3, L_3 = Intersect(q_5, c)
poly4, r_3, k_6, i_6, j_5, l_5 = Polygon(R, K_3, I_3, J_3, L_3)
c_3 = Segment(C, H_3)
etapesc5 = 0 (slider from 0 to 7, step 1)
P_1 = Point(O, Vector[Vector[O, A_3]])
Q_1 = Point(O, Vector[Vector[O, B_3]])
q_2 = Circle(P_1, Q_1)
s_2 = OrthogonalLine(P_1, Line[P_1, Q_1])
t_2 = Ray(Q_1, P_1)
R_1 = Intersect(CircleArc[P_1, Q_1, Mirror[Q_1, P_1]], s_2)
S_1 = Midpoint(P_1, Q_1)
s_3 = Circle(S_1, R_1)
T_1 = Intersect(s_3, t_2)
t_3 = Circle(Q_1, T_1)
U_1 = Intersect(q_2, CircleArc[Q_1, Mirror[T_1, Q_1], T_1])
a_3 = LineBisector(P_1, Q_1)
M_3 = Intersect(CircleArc[Q_1, Mirror[T_1, Q_1], T_1], a_3)
r_5 = Circle(M_3, U_1)
s_5 = Circle(Q_1, P_1)
N_3, O_3 = Intersect(r_5, s_5)
poly6, p_6, q_6, n_5, m_5, u_1 = Polygon(P_1, Q_1, N_3, M_3, U_1)
δ = Angle(Q_1, P_1, R_1)
b_3 = Segment(S_1, R_1)
a_6 = Segment(Q_1, T_1)
ε = Angle(Q_1, S_1, M_3)
b_6 = Segment(Q_1, S_1)
c_6 = Segment(S_1, P_1)
d_6 = Segment(M_3, U_1)
e_6 = Segment(Q_1, P_1)
etapesc6 = 0 (slider from 0 to 5, step 1)
P_3 = Rotate(Q_1, 90.0°, P_1)
Q_3 = Rotate(P_1, 270.0°, Q_1)
f_6 = Segment(P_1, P_3)
g_6 = Segment(P_3, Q_3)
h_6 = Segment(Q_3, Q_1)
R_3, S_3 = Intersect(s_3, Line[P_1, Q_1])
j_6 = Segment(R_3, S_3)
r_6 = Circle(P_1, Q_1)
s_6 = Circle(Q_1, R_3)
T_3 = Intersect(r_6, CircleArc[Q_1, Rotate[R_3, 270.0°, Q_1], R_3])
t_6 = Circle(Q_1, P_1)
c_7 = Circle(P_1, S_3)
U_3 = Intersect(t_6, CircleArc[P_1, S_3, Rotate[S_3, 90.0°, P_1]])
V_3 = Intersect(s_6, CircleArc[P_1, S_3, Rotate[S_3, 90.0°, P_1]])
d_7 = CircumcircleArc(S_3, P_3, R_3)
W_3 = (11.084344772824688, -3.477923824626127)
Z_3 = (15.58434477282469, -3.477923824626127)
poly7, w_3, z_3, n_6, a_7, b_7, A_4, B_4, C_4 = Polygon(W_3, Z_3, 5.0)
l_6 = Segment(W_3, B_4)
m_6 = Segment(B_4, Z_3)
e_7 = Segment(Z_3, C_4)
f_7 = Segment(C_4, A_4)
g_7 = Segment(A_4, W_3)
D_4 = Intersect(f_7, l_6)
E_4 = Intersect(m_6, f_7)
F_4 = Intersect(g_7, m_6)
G_4 = Intersect(e_7, g_7)
H_4 = Intersect(l_6, e_7)
poly8, h_7, c_8, d_8 = Polygon(C_4, D_4, H_4)
poly9, f_8, e_8, a_8 = Polygon(E_4, A_4, F_4)
poly10, d_9, b_8, e_9 = Polygon(B_4, E_4, D_4)
poly11, g_8, h_8, w_4 = Polygon(H_4, W_3, G_4)
poly12, z_1, g_9, f_9 = Polygon(G_4, F_4, Z_3)
k_7 = Circle(B_4, A_4, Z_3)
I_4 = Center(k_7)
p_7 = CircleSector(I_4, B_4, C_4)
q_7 = CircleSector(I_4, C_4, W_3)
r_7 = CircleSector(I_4, W_3, Z_3)
s_7 = CircleSector(I_4, Z_3, A_4)
t_7 = CircleSector(I_4, A_4, B_4)