collectionneur

Niveau : terminale générale, spécialité

Lien avec le programme :
Activité : probabilité conditionnelle, activité algorithmique, simulation d’une marche aléatoire, activité sur tableur, suite, raisonnement par récurrence.
Exercice 3 bac S 2012 : étude de fonction (limites, variations, signe), étude d’une suite numérique (variations, signe, convergence), algorithmique, calcul intégral.

Lien avec Les maths au quotidien : Société.

Mikaël raffole des cordons bleus mais aussi des chouettes cartes de France. Il achète donc régulièrement des cordons bleus, et espère réunir les 101 Départ'Aimants composant la carte de France.
On suppose qu’à chaque achat d’un cordon bleu, il a la même probabilité d’obtenir chacun des 101 départements et que Mikaël n’a pas de copain pour faire des échanges.

Mikaël, tranquillement assis dans son canapé après avoir fort bien diné (cordon bleu sur salade en entrée, cordon bleu haricot vert en plat et cordon bleu coulis de framboise en dessert) se pose la question suivante :

Quel est le nombre moyen de cordons bleus que je dois acheter afin d’obtenir toute la carte de France ?

Pour commencer cette étude qui s’annonce passionnante, notons que la situation est modélisable par une marche aléatoire entre des points situés sur une droite graduée, le point 0 représentant la situation de Mikaël n’ayant encore rien acquis, le point \(k\) celle de Mikaël ayant acquis \(k\) Départ'Aimants, le point 101 étant le point d’arrivée du parcours.

Occupons-nous, pour nous mettre en jambe, des probabilités de transitions entre les différents états :

Avec quelle probabilité passe-t-on du point \(k\) au point \(k + 1\) (en une étape) ?

Avec quelle probabilité reste-t-on au point \(k\) (en une étape) ?

Avec quelle probabilité passe-t-on du point \(k\) au point \(m\) (\(m \neq k + 1\), en une étape) ?

Dans la suite, on va utiliser \(n\) à la place de 101 pour donner un contenu un peu plus général au problème.

Avec quelle probabilité passe-t-on du point \(k\) au point \(k + 1\) (en une étape) ?

Avec quelle probabilité reste-t-on au point \(k\) (en une étape) ?

Avec quelle probabilité passe-t-on du point \(k\) au point \(m\) (\(m \neq k + 1\), en une étape) ?

On souhaite maintenant écrire un algorithme simulant 5 000 fois la marche aléatoire précédente et donnant en sortie le nombre moyen d’étapes pour arriver au point n.
Compléter l’algorithme suivant en utilisant les éléments de gauche :

Cliquer une fois sur l'un des éléments de la colonne de gauche, puis cliquer sur le champ cible dans celle de droite.

Saisir n

Pour i allant de 1 à 5 000 faire
k ← 0

Tant que faire
.
x prend la valeur d'un nombre entier aléatoire entre 1 et n compris
Si alors

Programmer cet algorithme et l’exécuter pour répondre à la question suivante :

Entre quels multiples de 10, consécutifs, peut-ton estimer le nombre moyen de cordons bleus à acheter pour avoir toute la carte de France ?

Retrouvons à nouveau notre ami dans son canapé, en train de faire son raisonnement.
« Comme j’aime bien les mathématiques, je vais traiter le cas général où le nombre total d’objets à collectionner (ici des départements…) est quelconque, égal à \(n\).
J’ai ce soir \(k\) départements tous différents (avec \(0 \leq k < n\)).
Je note \(t_k\) le nombre moyen de paquets à acheter pour terminer ma collection, sachant que je suis déjà en possession de \(k\) objets distincts (\(0 \leq k \leq n\)).

J’ai donc, ce soir, \(t_k\) paquets à acheter en moyenne pour terminer ma collection.

Demain matin, j’irai acheter un délicieux cordon bleu et j’espère bien obtenir un département supplémentaire. Voyons, voyons, j’ai une probabilité \(p_k = \frac{k}{n}\) que ce département soit déjà en ma possession et \(1 - p_k = \frac{n-k}{n}\) que ce soit un nouveau département.

Si je suppose que le département que je vais obtenir demain est un département que j’ai déjà, après l’achat de ce nouveau paquet, il me restera, en moyenne, encore \(t_k\) paquets à acheter.
Donc j’ai dans ce cas, ce soir, encore \(t_k + 1\) paquets à acheter, et ceci avec la probabilité \(p_k\).

Si je suppose que le département que je vais obtenir demain est un nouveau département, après l’achat de ce nouveau paquet, il me restera, en moyenne, encore \(t_k + 1\) paquets à acheter puisque j’aurais alors \(k + 1\) départements. Donc j’ai dans ce second cas, ce soir, encore \(t_{k + 1} + 1\) cordons bleus à acheter en moyenne, et ceci avec la probabilité \(1-p_k\).

Par le raisonnement précédent, on obtient la relation :

Remarque

Le raisonnement de bon sens de Mikaël peut être formalisé mathématiquement avec la notion d’espérance conditionnelle, que l’on peut rencontrer dans le supérieur. Il existe une formule tout-à-fait similaire à la formule des probabilités totales, que vous connaissez bien.

La relation \(t_k = (t_k + 1) p_k + (t_{k + 1} + 1)(1 – p_k) \) amène :

Pour tout \(k\) entier entre 0 et \(n - 1\) compris, on a donc \(t_k = t_{k + 1} + \frac{n}{n-k}\).

On montre alors que, pour tout \(k\) entier entre 0 et \(n - 1\) compris,

Le nombre de Départ'Aimants à se procurer en moyenne, pour avoir la collection de \(n\) Départ'Aimants, sachant que l’on débute la collection, est alors donné par :

La formule donnant le nombre de Départ'Aimants à se procurer en moyenne, pour avoir la collection de \(n\) Départ'Aimants, sachant que l’on débute la collection, est donc \(n\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{i}\)

Remplir la feuille de calcul suivante avec votre tableur :

En déduire le nombre de cordons bleus que Mikaël devra s’attendre à acheter afin d’obtenir la carte de France :

En déduire le nombre moyen d’objets à acheter si la collection compte 200 objets :

Remarque

Quand \(n\) est grand, on montre que le nombre moyen d’objets à acheter est équivalent à \(n(\ln n + \gamma)\) où \(\gamma\) est la constante d’Euler-Mascheroni, définie comme étant la limite de la suite \(\left(\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{i} - \ln n\right)_n\).

C’est l’objet de l’exercice 3 du sujet de bac de métropole juin 2012 de montrer que la suite \(\left(\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{i} - \ln n\right)_n\) converge :

Cette suite ne converge pas très vite, comme un tableur ou l’algorithme de l’exercice de bac le suggère. Cependant, avec \(\gamma\approx 0,577, 101(\ln 101 + 0,577) \) donne 524,4 au lieu de 524... pas mal !

Vous avez obtenu un taux de réussite de :

- Fin -